![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Однородное рекуррентное уравнение получается при j (n) = 0. Метод решения является обобщением решения предыдущего примера. Вначале производящая функция находится как рациональная функция, которая далее представляется в виде суммы частичных дробей и разлагается в степенной ряд. Предположим, что последовательность чисел удовлетворяет следующему однородному линейному рекуррентному уравнению
.
где – заданные числа и
.
Для задания начальных условий фиксируем значения . Обозначим через F (z) производящую функцию последовательности
По заданным постоянным коэффициентам уравнения построим многочлен
.
Этот многочлен можно рассматривать как производящую функцию последовательности: . Коэффициент
при
и r > 0 в произведении производящих функций
, определяется соотношением
Он равен нулю, поскольку рекуррентное уравнение однородное. Это означает, что многочлен
имеет степень самое большее (r– 1), и, следовательно, степень числителя рациональной функции F (z) = C (z) / K (z) меньше степени знаменателя.
Характеристическим многочленом линейного однородного рекуррентного уравнения называется многочлен:
,
имеющий степень “ r ”; корни этого многочлена называются характеристическими. Если различные характеристические корни (среди которых могут быть мнимые) обозначить через , а их кратности обозначить через
, то можно записать следующие равенства:
,
.
Характеристический многочлен и многочлен K (z) связаны между собой соотношениями
.
Отсюда следует, что
.
Используя это, можно записать
,
где – неопределённый коэффициент.
Каждая дробь этой суммы имеет вид , поэтому её можно разложить в степенной ряд следующего вида:
.
Коэффициент при в этом ряде равен
.
Если заметить, что биномиальный коэффициент
,
входящий в последнее равенство, является многочленом степени по
, то легко проверить, что
,
где – многочлен от
степени самое большее
. Следовательно
и – является общим решением однородного линейного рекуррентного уравнения.
Пример 10.3. С помощью общего метода найти общий член последовательности чисел Фибоначчи.
Решение: Уравнение имеет характеристический многочлен
, где
;
. В этом случае
и
и, следовательно,
и
– многочлены степени 0 от n, т.е. постоянные. Поэтому
, где
и
– неопределённые постоянные. Так как
, то, подставляя n = 0, 1, получаем
;
. Решая эти уравнения, находим
;
.
Отсюда следует: .
Решение этого упражнения показывает, что если все характеристические корни являются простыми, то общее решение однородного уравнения имеет вид:
, где
,
, …,
– это «r» неопределённых постоянных. Для определения этих постоянных используются r начальных условий, а именно значения
. Если
является корнем кратности
, то
представляет собой многочлен степени
:
,
где –
неопределённых постоянных. Начальные условия однозначно определяют все «r» неопределённых постоянных.
Пример 10.4. Найти решение уравнения c начальными условиями
,
.
Решение: Так как характеристический многочлен имеет корень z = 2 кратности 2, то
. С помощью начальных условий находим:
;
;
.
Таким образом, решение рассматриваемого уравнения:
.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 713 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!