Основные теоремы операционного исчисления

В большинстве случаев применение операционного исчисления к решению задач укладывается в следующую схему. Пусть требуется найти некоторый результат в виде функции , для получения которого без использования операторного метода надо над заданной функцией выполнить какую-то операцию A.

Применяя операционное исчисление, сначала переходят от оригинала к его изображению , а затем над этим изображением выполняют операцию B, соответствующую в области оригиналов операции A (например, делят изображение на вместо интегрирования функции ), и получают промежуточный результат – изображение . Затем переходят от изображения к искомому оригиналу .

На первый взгляд, схема решения задачи удлиняется. Однако на самом деле получается значительный выигрыш как в средствах вычисления, так и во времени. В частности, везде дифференцирование заменяется умножением на , а интегрирование – делением на .

Этот выигрыш достигается путем применения основных теорем операционного исчисления и известных «табличных» изображений, публикуемых в справочниках.

Рассмотрим основные теоремы операционного исчисления.

Теорема 9.1. (о дифференцировании изображения).

Если , то .

Доказательство: .

Следствие 9.1.1: .

Следствие 9.1.2: . (9.20)

Пример 9.3. Найти изображение функции . Поскольку , то .

Теорема 9.2. (об интегрировании изображения).

Если , то .

Доказательство. Обозначим и . Очевидно, что , и по предыдущей теореме:

.

Отсюда следует: .

Постоянная интегрирования определяется из условия: .

. Таким образом

.

Теорема 9.3. (об изменении масштаба).

Для всегда .

Доказательство. Обозначим . Тогда

.

Пример 9.4. Известно, что . Найти изображение функции .

.

Теорема 9.4. (запаздывания).

Если и , то .

Доказательство. Обозначим . Тогда

.

Теорема 9.5. (упреждения).

Если и , то .

Доказательство. Обозначим . Тогда

Теорема 9.6. (смещения).

Если и , то .