Доказательство теоремы о свертке

Пример 9.5. Применяя теорему о свертке, найти оригинал изображения:

.

Решение. Имеем ,

, .

Поэтому .

Теорема 9.8. (первая теорема разложения).

. (9.21)

Доказательство. Формула (9.21) прямо следует из формулы (9.20).

Пример 9.6. Найти оригинал изображения .

Решение. Известно, что логарифмическая функция может быть разложена в следующий степенной ряд:

.

В соответствии с первой теоремой разложения получаем:

.

Теорема 9.9. (вторая теорема разложения).

Если – рациональная правильная несократимая дробь, а – простые (не кратные) корни уравнения: , то

, (9.21)

где , .

Доказательство. Прежде всего, заметим, что требование правильности дроби в данной теореме обязательно, так как эта дробь – изображение, и должно быть выполнено условие .

Далее известно, что в случае простых корней знаменателя правильная рациональная дробь может быть разложена на простейшие следующим образом:

.

Для нахождения коэффициента умножим обе части равенства на ():

.

Введем обозначение , тогда предыдущее равенство можно записать в виде:

.

Полагая , найдем . Подобно этому вычисляются и остальные коэффициенты разложения. Используя теорему смещения, приходим к формуле (9.21).

Пример 9.7. Найти оригинал для изображения .

Решение: – правильная рациональная несократимая дробь, причем

,

.

Корни знаменателя: .

.

, , .

.

Здесь мы применили формулу Эйлера: .

Пример 9.8. Решить дифференциальное уравнение

при начальном условии: , – константы.

Решение: Для решения используем операционное исчисление. Уравнение в изображениях

.

Решая его относительно , получим . Применим вторую теорему разложения.

; ; .

; .

.

Пример 9.9. Решить дифференциальное уравнение

при начальных условиях: , .

Решение: Уравнение в изображениях

.

Подставляем начальные условия:

.

Решаем полученное уравнение как обычное алгебраическое

.

Совершаем обратное преобразование по формуле:

.

; ;

, .

; , .

.

Пример 9.10. Вычислить интеграл

.

Найдем изображение этого интеграла

.

Отсюда следует: .