Дискретное преобразование Лапласа

Дискретное преобразование Лапласа применяют к так называемым решетчатым функциям. Решетчатой функцией называется функция, определенная только для целых значений аргумента . (она тождественно равна нулю при отрицательных значениях аргумента).

Функция непрерывного аргумента , определенная для всех , называется порождающей функцией для решетчатой функции .

а б

Рис. 11.1. Порождающая функция (а) и решетчатая функция (б)

Изображением решетчатой функции является функция , удовлетворяющая соотношению

, (11.1)

где – параметр преобразования.

В операторной форме это соотношение записывается следующим образом:

.

Преобразование решетчатых функций в соответствии с данным соотношением называется дискретным преобразованием Лапласа.

Всякая функция , для которой существует обычное преобразование Лапласа, порождает решетчатую функцию , для которой, в свою очередь, определено дискретное преобразование Лапласа. Свойства дискретного преобразования Лапласа решетчатой функции, в основном, такие же, как и для обычного преобразования Лапласа, однако здесь во всех случаях интегралы заменяются бесконечными суммами.

Предположим, что задана последовательность чисел . Тогда решетчатую функцию можно представить в виде суммы последовательностей импульсных -функций Дирака.

.

-функция – это специальная (обобщенная) функция, обладающая следующими свойствами.

, .

Дискретное преобразование Лапласа последовательности – это обычное преобразование Лапласа импульсной функции :

.