Real numbers

Дійсні числ а

Необходимость расширения поля рациональных чисел

Necessity in Extension of Rational Number Field

Необхідність розширення поля раціональних чисел.

Уравнение х ²=2 не разрешимо в рациональных числах, т.е. не существует рационального числа, удовлетворяющего этому уравнению; не может быть рациональным числом.

Можно было бы рассматривать более общее уравнение, скажем, вида х ^m= n, где натуральное m 2, а n есть ненулевое целое число, которое не есть m-я степень какого-либо целого числа (n Z, n ¹0, Ø$ k Z n = k ^m). В этом и каком-либо другом подобном обобщении рассматриваемого уравнения х ²=2 здесь нет нужды, поскольку проводимое рассмотрение имеет иллюстрированный характер.

3 От противного. Пусть решение х есть рациональное число m / n, где m Z, n N и дробь m/ n несократима, т.е. m и n не имеют общих множителей. m ¹0, т.к. 0 очевидно, не есть решение. Тогда

(m / n)²=2Þ m ²=2 n ²Þ m =2 p Þ(2 p)²=2 n ²Þ n ²=2 p ²Þ n =2 q Þ дробь m / n сократима – противоречие со сделанным предположением о рациональности х и не ограничивающем общность выбором представления этого рационального числа в виде несократимой дроби8

Существуют несоизмеримые отрезки, т.е. отрезки, длина которых при фиксированной единице длины (масштабе) не выражается рациональным числом.

3Например, это гипотенуза

равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным

c

катетом. По теореме Пифагора квадрат гипотезы

такого треугольника равен с ²=1²+1²=2, а потому,

по доказанному выше, с не может быть рациональным числом8

Заметим, что несоизмеримость любого данного отрезка зависит от выбора единицы длины: для одного выбора отрезок несоизмерим, а для другого может быть соизмеримым (иметь длину выражающуюся рациональным числом). Чтобы говорить о длине произвольных отрезков при любом выборе единицы длины необходим выход за рамки множества рациональных чисел.