Теореми про апроксимацію дійсних чисел раціональними

Между любыми не равными вещественными числами расположено бесконечно много рациональных чисел

" a, bÎ R a¹b Þ $ rÎ Q a < r < b.

Если два вещественных числа можно заключить между сколь угодно близкими рациональными числами, то эти вещественные числа равны:

" e >0 $ r, sÎ Q r < a, b <s Þ a = b

Всякое вещественное число можно заключить между сколь угодно близкими рациональными числами

"aÎ R " e >0 $ r, sÎ Q |r-s|< e Ù r <a< s.

3Если a < b, то Поэтому $ b Î и b Ï , т.е. bÎA ^¢. Могло бы оказаться, что b= a, однако, поскольку в нет наибольшего числа есть rÎ и r >b. Как и b rÎА ^¢, а потому a < r < b. Вставляя в образующиеся промежутки рациональные числа (по только, что доказанному) получим сколько угодно (но не более, чем счетное число) рациональных чисел заключенных между a и b 8

3От противного. Пусть в условиях теоремы a < b. Вставим между ними рациональные числа r ₁ и r ₂ так что a < r ₁< r ₂< b. Тогда r< a < r ₁< r ₂< b < s Þ s-r> r ₂- r ₁>0.Для 0< e < r ₁- r ₂ это противоречит условию 0< s - r < e 8

3Если рациональное число e₀ такое, что 0< e ₀< e (оно есть в числе первой теоремы), то в соответствии с принципом Архимеда в множестве рациональных чисел для достаточно больших натуральных nÎ N и для произвольно взятого а Î имеем а + ne ₀ Î (при произвольном вещественном e, a +ne в общем не будет рациональным числом да и действия над вещественными числами еще не определены). Выберем минимальное из таких n (вполне упорядоченность N позволяет это сделать). Тогда либо a ^¢+(n -1) e ₀ Î так что можно взять r =a+(n- 1) e ₀ и s=a+ne₀, либо a +(n - 1) e₀ = a и нужные числа -x₀ r = a+ (n- 1) e ₀- e₀ /2 и S = a + (n-1) e ₀+ e ₀/24

Теорема Дедекинда (непрерывность множества вещественных чисел)

Dedekind Theorem (Continuity of Rational Number set)