Логарифм в комплексной плоскости

Воспользовавшись тем, что , запишем комплексное число z

.

После первого знака равенства стоит алгебраическая, после второго знака равенства – тригонометрическая, а после третьего знака равенства – показательная форма записи комплексного числа. При этом в показательной форме записи вновь явным образом указаны модуль и аргумент комплексного числа.

Теперь рассмотрим уравнение:

и решим его относительно w: .

Здесь , , , .

Тогда: , Þ .

Значит: , .

Получена формула для вычисления логарифма комплексного числа. Отметим что, любое комплексное число (кроме нуля) имеет логарифм, причем этих значений бесконечно много.

Примеры:

1°. ;

2°. .

И, наконец, можно ввести операцию возведения комплексного числа (не равного нулю) в произвольную комплексную степень: .

Примеры:

1°. .

2°. .

3°. .

4°. .

5°. .

6°. .

*. Во всех решениях: .

Сделаем несколько замечаний, касающихся приведенных выше решений.

*. В задаче 1 получено пять различных решений расположенных на окружности радиуса в вершинах правильного пятиугольника.

*. В задаче 2 бесконечно много решений. Все они расположены на луче и по модулю образуют бесконечную в обе стороны геометрическую последовательность со знаменателем .

*. В задаче 3 все решения расположены на окружности радиуса и покрывают ее всюду плотным образом.

*. В задаче 4 решения расположены на спирали и всюду плотным образом заполняют направления в которых они находятся.

*. Задача 5. Удивительный факт: чисто мнимое число в чисто мнимой степени есть бесконечное множество вещественных положительных чисел.

*. Задача 6. И все таки дважды два равно четыре.