Field of Complex numbers

Def: Говорят, что на множестве М задана внутренняя операция, если в операции участвуют элементы из множества М. При этом, если результат операции также принадлежит множеству М, то операция называется заданной корректно.

Полем называется множество Р, в котором корректным способом определены две бинарные (двухместные) внутренние операции называемые сложением и умножением элементов такие, что:

1. ; 5. ;

2. ; 6. ;

3. ; 7. ;

4. ; 8. ;

9. .

Отметим, что:

а) аксиомы 1–3 определяют поле как группу по сложению, а аксиома 4 делает эту группу абелевой (коммутативной).

б) аксиомы 5–8 говорят о том, что по умножению коммутативной группой является множество не нулевых элементов поля.

в) аксиома 9 связывает эти операции друг с другом дистрибутивным законом.

г) ассоциативность (1 и 5) позволяет сумму и произведение более чем 2-х элементов поля писать без скобок: и поскольку всякая расстановка скобок, призванная указать порядок выполнения операций, приводит к одному и тому же результату.