Функции с комплексными или вещественными аргументами и значениями. Графики. Последовательности

1°. , . Вещественно значная функция вещественного аргумента.

2°. , . Вещественно значная функция комплексного аргумента.

3°. , : , , . Комплексно значная функция вещественного аргумента.

4°. , . Комплексно значная функция комплексного аргумента.

5°. Комплексно значная функция натурального аргумента называется комплексно значной последовательностью .

§ Предел. Дифференцируемость. Непрерывность. Интегрируемость.

Комплексно значная функция комплексно значного аргумента – векторно значная функция векторного аргумента.

Def. Точка называется точкой сгущения множества М (предельной точкой), если существует, по крайней мере одна, (а значит бесконечно много) отличная от точка из множества M.

Def. .

(a, b, z C).

*. Если комплексно значная функция имеет предел, то её модуль также имеет предел и при этом: .

Δ Факт этот следует из неравенства: . ▲.

Если , при , то

*) ;

*) ,

*) .

Непрерывность в терминах пределов и неравенств формулируется так же, как и для вещественно значных функций.

Производная и дифференциал функции определяется в полной аналогии с определениями для функций вещественного аргумента. И результаты зачастую очень похожи. Однако …

Для комплексно-значных функций требования дифференцируемости накладывает существенные ограничения.

.

Переходя в полученном выражении к пределу, получаем:

1) , , ; 2) , , .

Из двух различных записей для делаем вывод: функция комплексного аргумента дифференцируема тогда и только тогда, когда выполняются условия: ; . Эти условия называются условиями Коши – Римана.

При этом из условий Коши – Римана для дифференцируемой функции следует:

;

Кроме того непосредственными вычислениями удается установить, что:

; ; ; ……