Основная теорема алгебры

На рисунках слева проиллюстрировано что, полином четной степени может и не иметь вещественных корней, а полином нечетной степени обязательно имеет, по меньшей мере, один вещественный корень. Вопрос: сколько корней, в том числе вещественных, имеет полином произвольной степени?

Т°. (Основная теорема алгебры). Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, т. е. всякий многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень (в частности это относиться и к многочлену с вещественными коэффициентами).

Если , , ,

.

Теорема была доказана Даламбером (1717 – 1783) и Гауссом (1777 – 1855) еще в XVIII веке, хотя лишь в XIX веке эти доказательства были доведены до полной строгости. В настоящее время существует несколько десятков различных ее доказательств.

∆ Сначала cформулируем очень важный для доказательства

Принцип Руше: Приращение Arg f(z) при движении по замкнутому контуру С в положительном направлении равно , где n количество нулей функции f (z) внутри области ограниченной контуром С.

(для контура С ₁ содержащем внутри себя начало координат);

(для контура С ₂ не содержащем внутри себя начало координат).

Теперь рассмотрим , и преобразуем его к виду

.

Выберем замкнутый контур C так:

C – окружность, с центром в начале координат пробегаемая против часовой стрелки. Радиус окружности R выберем так, чтобы .

Это всегда можно сделать с помощью выбора достаточно большого R ибо

при

Тогда: .

При этом т.к. константа и ее аргумент не изменяются при обходе контура, т.к. выражение при обходе контура С, описывает контур не содержащий начало координат и, следовательно:

т.е. .

и, согласно принципу Руше, функция имеет внутри контура (т.е. на комплексной плоскости) n корней, возможно совпадающих.