Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов

(3.16)

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция - спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала с опорной частотой . Спектр данного сигнала:

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.9) спектр сопряжённого сигнала:

(3.17)

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала

(3.18)

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.18) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу

соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

(3.19)

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

(3.20)

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

(3.21)

Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

(3.22)

Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.20, 3.21, 3.22) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.

Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.

Теория аналитического сигнала разработана выдающимся венгерским физиком Денешем Габором, лауреатом Нобелевской премии.