Преобразования Гильберта и его свойства. Применение пре образования Гильберта

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол - в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.8) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций и которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Тогда:

(3.10)

Таким образом, сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

(3.11)

Можно поступить и по иному, выразив сигнал через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.9) вытекает следующая связь между спектральными плотностями:

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.11) лишь знаком:

(3.12)

Формулы (3.11) и (3.12) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

(3.13)

Функция называется ядром этих преобразований.