Раздел 3. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта

Аналитический сигнал. Основные понятия и определения. Спектр аналитического сигнала.

Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

(3.1)

Назовём функцию

(3.2)

аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.1) путём замены переменной преобразуется к виду:

(3.3)

Поэтому из формулы (3.1) можно получить следующее соотношение между сигналами и :

(3.4)

или: - вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:

(3.5)

называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак, аналитический сигнал:

(3.6)

На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу .

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть .Из (3.2) с очевидностью следует:

(3.7)

Если - спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:

(3.8)

Анализируя (3.7) и (3.8), можно убедиться в том, что спектральная плотность исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:

. (3.9)