Упражнение 58

Продолжим в условиях предыдущего упражнения. Пусть Р₁, Р₂, Р₃,…- неотрицательные члены этого ряда в том порядке, в котором они встречаются, а Q_1, Q₂, Q₃,… - абсолютные величины отрицательных членов этого ряда в порядке их следования.
Докажите, что оба ряда åР_n и åQ_n расходятся.

Упражнение 59** (теорема Римана)

Пустьåа_n – неабсолютно сходящийся ряд и -¥£a£b£+¥. Тогда существует перестановка åа’_n с частными суммами s’_n такая, что ; .

(Hint: chose two sequences converging to those limits, {a_n} and {bn}, a_n<bn, a_n ®a; bn®b. Let m(1) be the first number such, that sum P₁+P₂+…+P_m(1) becomes greater than b₁. Let k(1) be the first number such, that the algebraic sum P₁+P₂+…+P_m(1) – Q₁-Q₂-…-Q_k(1) becomes less than a₁. Go on with this process, find and prove that there are partial sums in this series which converge separately to both limits)