Упражнение 56*

Всякий раз, когда произведение двух сходящихся рядов сходится, оно сходится именно к произведению сумм этих рядов. (; ; , где с_n= , Þ С=А×В)

(hint: let f(x)= , g(x)= and h(x)= . Then f(x)×g(x)=h(x) holds true once 0£x<1. Now use Abel theorem.)

Def. Пусть k:N®N – биекция, k(n)=k_n. Положим а’_n=a_k(n). Тогда ряд åа’_n называется перестановкой ряда åа_n. Говорят, что ряд сходится безусловно, если все его перестановки сходятся к одной и той же сумме.

Пример. Рассмотрим ряд и его перестановку 1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+…
Докажите, что оба ряда сходятся, но к разным пределам.