Упражнение 54** (теорема Мертенса)

Если хотя бы один из двух сходящихся рядов сходится абсолютно, то их произведение Коши сходится, причём сходится именно к произведению сумм этих рядов.

(; ; сходится абсолютно, с_n= Þ сходится и )

(hint: let , , , b_n=B_n-B. Show first, that C_n=A_nB+a₀b_n+a₁b_n-1+…+a_nb₀ =A_nB+g_n. The goal is to prove, that g_n®0. To that end, break g_n into two separate sums, where N=N(e) chose properly and fix. Then |g_n | £|b₀a_n+…+b_Na_n-N|+|b_N+1a_n-N-1+…+b_na₀| £ |b₀a_n+…+b_Na_n-N|+ea where a= Infer from this inequality, that £ea.)

Пусть рядåс_n сходится. Тогда радиус сходимости ряда равен 1 (почему?) и на интервале (-1,1) определена функция f(x)= . Так вот, оказывается, что