Решение. 1. При решении задачи классическим методом напряжение u2(t) ищется в виде суммы принуждённой и свободной составляющих:

1. При решении задачи классическим методом напряжение u ₂ (t) ищется в виде суммы принуждённой и свободной составляющих:

u ₂ (t) = u _{2 пр} (t) + u _{2 св} (t).

Поскольку источник постоянный, принуждённая составляющая также является постоянной и может быть определена через комплексное передаточ-ное сопротивление при частоте w = 0:

Z( 0 ) = = = 1250 Ом; u _{2 пр} = Z( 0 ) · J = 1250·0,05 = 62,5 В.

Комплексное передаточное сопротивление является так называемой системной функцией. Для получения характеристического уравнения нужно в ней заменить jw на р и знаменатель дроби приравнять к нулю. Получаем:

р + а ₀ = 0, р = - а ₀ = -66,67 с ^-1.

При одном корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: u _{2 св} (t) = А · е ^рt, где постоянная интегрирования А находится из начальных условий – А = u _{2 св} ( 0 ) = u ₂ ( 0 ) – u _{2 пр} ( 0 ).

Для получения начального значения напряжения u ₂ ( 0 ) снова используем комплексное передаточное сопротивление, но теперь при частоте, равной бесконечности: Z( ¥ ) = = = 0.

Тогда u ₂ ( 0 ) = Z( ¥ ) · J = 0, и А = - u _{2 пр} ( 0 ) = -62,5.

Окончательно получаем: u ₂ (t) = 62,5 – 62,5· е ^{-66,67 t} В.

2. Для расчёта выходного напряжения u ₂ (t) операторным методом используем операторное передаточное сопротивление Z(р), которое получаем из комплексного передаточного сопротивления заменой jw на р:

Z(р) = = .

Изображения тока источника и выходного напряжения (используем MathCAD):

J(s):= J , то есть J(р) = ;

u 2 (р):= Z(р) · J(р) u 2 (р) .

Оригинал искомого напряжения получаем с помощью обратного преобразования Лапласа:

u 2 (t):= u 2 (р) 62.5 – 62.5· е ^{( -66,67 ) · t}.

ЗАДАЧА 7.80. Решить задачу 7.79 спектральным методом при условии, что источник вырабатывает одиночный прямоугольный импульс тока амплитудой J = 0,05 A и длительностью t = а ₀ ^-1 = 0,015 с.