Решение. Рассчитаем переходную характеристику классическим методом

Рассчитаем переходную характеристику классическим методом. При подключении цепи рис. 7.97,а к источнику единичного напряжения имеем:

u_ВЫХпр = r ₂ = 10/(10+10) = 0,5 В, р = - = - = -1 с ^-1,

u_ВЫХ( 0 ) = 0; u_ВЫХ(t) = u_ВЫХпр + (u_ВЫХ( 0 ) – u_ВЫХпр)е ^рt = 0,5 – 0,5 е ^{– t} В,

окончательно, g(t) = 0,5 – 0,5 е ^{– t}.

Запишем напряжение u_ВХ(t) аналитически:

u_ВХ(t) =

Производная от напряжения: u_ВХ ¢ (t) =

Выходное напряжение на интервале 0 £ t £ t ₁:

u_{ВЫХ 1} (t) = u_{ВХ 1} ( 0 ) · g(t) + = 0 + =

= 50 t – 50 + 50 е ^{– t} В.

Выходное напряжение на интервале t ³ t ₁:

u_{ВЫХ 2} (t) = u_{ВХ 1} ( 0 ) · g(t) + +

+ (u_{ВХ 2} (t ₁ ) – u_{ВХ 1} (t ₁ ))g(t - t ₁ ) + =

= -100 + 50 t + 50 е ^{– t} + 50 е ^{– ( t -1 )} = -100 + 50 t + 68,4 е ^{– ( t -1 )} В.

Таким образом, u_ВЫХ(t) =

В соответствии с последним выражением на рис. 7.98 построен график u_ВЫХ(t).

ЗАДАЧА 7.72. На вход цепи рис. 7.99,а подан импульс напряжения u(t) = 400 е ^{-400 t} В длительностью t ₁ = 2 мс (рис. 7.99,б). Параметры цепи r ₁ = = r ₂ = 100 Ом, r ₃ = 50 Ом, L = 0,1 Гн. Используя интеграл Дюамеля, рассчитать напряжение u_L(t) и построить его график.

Ответы: g(t) = 0,5 е ^{-1000 t}, на интервале 0 £ t £ t ₁:

u_L(t) = u( 0 ) · g(t) + = 333,3 е ^{-1000 t} – 133,3 е ^{-400 t} В,

на интервале t ³ t ₁:

u_L(t) = u( 0 ) · g(t) + + ( - u(t ₁ ))g(t - t ₁ ) = -109,3 е ^{-1000 t} – 89,87 е ^{-1000 t +2} В.

График u_L(t) построен на рис. 7.100.

ЗАДАЧА 7.73. Используя интеграл Дюамеля, рассчитать ток i ₂ (t) в це-пи рис. 7.101,а при воздействии ступенчатого напряжения u(t) (рис. 7.101,б), если r ₁ = r ₂ = 20 Ом, r ₃ = 10 Ом, С = 1000 мкФ, t ₁ = 20 мс.

Ответы: g(t) = 25 – 12,5 е ^{-50 t} мСм, u(t) =

на интервале 0 £ t £ t ₁: i ₂ (t) = u ₁ ( 0 ) · g(t) = 25 – 12,5 е ^{-50 t} мА,

при t ³ t ₁: i ₂ (t) = u ₁ ( 0 ) · g(t) + (u ₂ (t ₁ ) – u ₁ (t ₁ ))g(t - t ₁ ) = 50 – 12,5 е ^{-50 t} –12,5 е ^{-50 t +1} мА.

График i ₂ (t) построен на рис. 7.102.

ЗАДАЧА 7.74. В схеме рис. 7.103,а рассчитать ток в резисторе r ₁. Параметры цепи: r ₁ = 50 Ом, r ₂ = r ₃ = 100 Ом, С = 200 мкФ. Напряжение источника задано графиком рис. 7.103,б. Использовать интеграл Дюамеля.

Ответы: g(t) = 0,00667 + 0,00333× e ^{–37,5 t} См,

i ₁ (t) =

График тока на рис. 7.103,в.

ЗАДАЧА 7.75. На рис. 7.104,а приведена схема колебательного звена системы автоматического регулирования с параметрами: r = 115 кОм, L = = 3,7 мГн, С = 1,4 пФ. Определить напряжение на выходе u_ВЫХ(t) при воздей-ствии на входе прямоугольного импульса u(t) (рис. 7.104,б) с параметрами:

U ₀= 90 В (высота), t ₁ = 3,5 мкс (смещение), Т = 8 мкс (длительность). Решить задачу с помощью интеграла Дюамеля.

Комментарии и ответы.

Передаточная функция звена: Н(p) = = .

Изображение и оригинал переходной функции:

G(p) = Н(p) = = ;

g(t) = + 2 Re =

= 1 + 2 Re =

= 1 – 0,458 e ^{– bt}sin(w ₀ t).

Здесь b = 3,106·10⁶ c ^-1, w ₀ = 13,554·10⁶ рад / с.

Интегралы Дюамеля вычислим с помощью системы MathCAD.

t 1:= 3.5·10 ^-6 t 2:= 11.5·10 ^-6 b:= 3.106·10⁶ w 0:= 13.554·10⁶

g(t):= 1 – 0.458· e ^{– b · t} · sin(w 0 ·t)

Напряжение источника u 1 (t):= 0 u 2 (t):= 90 u 3 (t):= 0

u(t):=

Интервал 0 £ t £ t ₁: uВЫХ 1 (t):= u 1 ( 0 ) · g(t) +

uВЫХ 1 (t) ® 0

Интервал t ₁£ t £ t ₂: j 1 (t):= u 1 ( 0 ) · g(t) +

uВЫХ 2 (t):= j 1 (t) + ((u 2 (t 1 ) – u 1 (t 1 )) · g(t - t 1 ) +

uВЫХ 2 (t) ® 90. – 41.22· e^{( -.3106 e 7 ) · t +10.87}· sin(. 1355 e 8· t – 47.44 )

или u_{ВЫХ 2} (t) = 90 – 41,22 e ^{- b(t - t 1 )} · sin(w ₀ (t – t ₁ )).

Интервал t ³ t ₂: j 2 (t):= ((u 2 (t 1 ) – u 1 (t 1 )) · g(t - t 1 ) +

uВЫХ 3 (t):= j 1 (t) + j 2 (t) + ((u 3 (t 2 ) – u 2 (t 2 )) · g(t - t 2 ) +

uВЫХ 3 (t) ® ( -41.22 ) · e^{( -.3106 e 7 ) · t +10.87}· sin(. 1355 e 8· t – 47.44 ) +

+ 41.22· e^{( -.3106 e 7 ) · t +35.72}· sin(. 1355 e 8· t – 155.9 )

или u_{ВЫХ 3} (t) = -41,22 e ^{- b(t - t 1 )} · sin(w ₀ (t – t ₁ )) + 41,22 e ^{- b(t - t 2 )} · sin(w ₀ (t – t ₂ )).

Окончательно записываем: uВЫХ(t):=

График напряжения u_ВЫХ(t) построен на рис. 7.105.