Решение. Рассчитаем состояние цепи рис

Рассчитаем состояние цепи рис. 7.95,а до коммутации: i ₂₀ = 0;

I _{1 m 0} = I _{m 0} = = = 16· е ^{– j 45°} A;

U _{Сm 0} = I _{1 m 0} = 16· е ^{– j 45°}· ( - j 25 ) = 400· е ^{– j 135°} В;

U _рубm = I _{1 m 0} (r ₁ + ) = 16· е ^{– j 45°}· ( 25 – j 25 ) = 400 · е ^{– j 90°} В;

i ₀ (t) = i ₁₀ (t) = Im(I _{1 m 0}· е ^{jw 0· t} ) = 16 sin(w ₀ t – 45° ) A;

u_{С 0} (t) = 400 sin(w ₀ t – 135° ) В; u_руб(t) = 400 sin(w ₀ t – 90° ) В.

Независимые начальные условия:

i (0₊)= i (0_-)= 16 sin( -45° ) = -8 А, u_C (0₊) = u_C (0_-) = 400 sin( -135° ) = -200 B.

Дальнейшие расчёты можно вести по схемам рис. 7.95,б и в.

Выполним расчёт токов ПП, используя приём сведения расчётов к нулевым начальным условиям. В этом случае в соответствии с принципом наложения искомые токи вычисляются как

i ₁ (t) = i ₁₀ (t) – i _{1 д}(t), i ₂ (t) = i ₂₀ (t) + i _{2 д}(t).

Токи дополнительного режима i _{1 д}(t) и i _{2 д}(t) определим операторным методом в соответствии со схемой рис. 7.95,г. Выполним расчёт указанной схемы: u_руб(р) = U_рубm · = ;

I _{2 д}(p) =

= = = ;

I _{1 д} (p) = I _{2 д} (p) = = .

По теореме разложения определим оригиналы токов.

Корни уравнения F ₂ (p) = 0: p _1,2= ± jw ₀ = ± j 100 с ^–1,

p ² LC(r ₁ + r ₂ ) + p(r ₁ r ₂ C + L) + r ₂ = 10 ^-2 p ² + p + 75 = 0, p _3,4= -50 ± j 50 с ^–1.

F ₂¢ (p) = = [ 2 pLC(r ₁ + r ₂ ) + (r ₁ r ₂ C + L)](p ²+ w ₀² ) + 2 p[p ² LC(r ₁ + r ₂ ) +

+ p(r ₁ r ₂ C + L) + r ₂ ] = ( 0,02 p + 1 ) · (p ² + 10000 ) + p( 0,02 p ² + 2 p + 150 ),

F ₂¢ (p ₁ ) = F ¢₂ (j 100 ) = -20000 – j 5000 = 20620· е ^{– j 165,96°},

F ₂¢ (p ₃ ) = F ¢₂ ( -50 + j 50 ) =10000 + j 10610 = 14580· е ^{j 46,69°}.

F ₁₁ (p) = - U_рубm · p ³· LC = -0,05656 p ³,

F ₁₁ (p ₁ ) = j 56560, F ₁₁ (p ₃ ) = -35360 – j 10000 = 36740· е ^{–j 164,21°},

i _{1 д}(t) = 2 Re + 2 Re =

= 2 Re + 2 Re =

= -5,486 cos( 100 t + 75,96° ) – 5,040 е ^{–50 t} cos( 70,7 t – 30,9° ) =

= -5,486 sin( 100 t + 165,96° ) – 5,040 е ^{–50 t} sin( 70,7 t + 59,1° ) A.

F ₁₂ (p) = - U_рубm · p(p ²· LC + r ₁ pC + 1 ) = -0,05656 p ³ – 5,656 p ² – 565,6 p,

F ₁₂ (p ₁ ) = 56560, F ₁₂ (p ₃ ) = 7071 – j 10000 = 12250· е ^{–j 54,74°},

i _{2 д}(t) = 2 Re + 2 Re =

= 2 Re + 2 Re =

= 5,486 sin( 100 t – 104,04° ) + 1,680 е ^{–50 t} sin( 70,7 t – 11,43° ) A.

Окончательно записываем полные токи:

i ₁ (t) = 16 sin(w ₀ t – 45° ) + 5,486 sin( 100 t + 165,96° ) + 5,040 е ^{–50 t}sin( 70,7 t + 59,1° ) =

= 11,64 sin( 100 t – 59,1° ) + 5,040 е ^{–50 t} sin( 70,7 t + 59,1° ) A,

i ₂ (t) = i _{2 д}(t) = 5,486 sin( 100 t – 104,04° ) + 1,680 е ^{–50 t} sin( 70,7 t – 11,43° ) A.

Выполним поверочный расчёт принуждённых составляющих токов сим-волическим методом, а свободных составляющих – операторным методом.

I _mпр = = = 16· е ^{– j 73,05°} A;

I _{1 m пр} = I _mпр · = 16· е ^{– j 73,05°}· = 11,65· е ^{– j 59°} A;

I _{2 m пр} = I _mпр · = 16· е ^{– j 73,05°}· = 5,49· е ^{– j 104°} A;

U _Сmпр = I _{1 mnp} = 11,65· е ^{– j 59°}· ( - j 25 ) = 291,4· е ^{– j 149°} В;

i_пр(t) = 16 sin(w ₀ t – 73,05° ) A, u_Спр(t) = 291,4 sin(w ₀ t – 149° ) В,

i_пр( 0 ) = 16 sin( -73,05° ) = -15,3 A, u_Спр( 0 ) = 291,4 sin( -149° ) = -150 В,

i _{1 пр}(t) = 11,65 sin(w ₀ t – 59° ) A, i _{2 пр}(t) = 5,49 sin(w ₀ t – 104° ) A.

Независимые начальные условия (были найдены ранее):

i (0)= -8 А, u_C (0) = -200 B.

Начальные значения свободных составляющих:

i_св( 0 ) = i (0)– i_пр( 0 ) = 4 А, u_Cсв (0) = u_C (0) – u_Спр( 0 ) = -133 B.

Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 7.95,д. Расчёт выполним методом двух узлов. Изображения величин:

u _{12 св}(р) = = ;

I _{1 св}(p) = = = ;

i _{1 св}(t) = 2 Re =

= 2 Re =

= 5,040 е ^{–50 t} sin( 70,7 t + 59,1° ) A,

I _{2 св}(p) = = = ;

i _{2 св}(t) = 2 Re =

= 2 Re =

= 1,68 е ^{–50 t} sin( 70,7 t – 11,3° ) A.

Таким образом, поверочный расчёт даёт те же значения принуждённых и свободных составляющих токов.

ЗАДАЧА 7.70. В схеме рис. 7.96,а определить ток i ₃ (t), если

e(t) = E_msin(w ₀ t + y), E_m = 400 B, w ₀ = 314 рад / с, y = -90°,

L = 0,25 Гн, С = 400 мкФ, r ₂ = 50 Ом, r ₃ = 25 Ом.

Комментарии и ответы. До коммутации i ₃₀ (t) = 7,56 sin(w ₀ t – 160,5° ) А,

u_руб(t) = 198,4 sin(w ₀ t – 178,2° ) В.

Операторная схема при сведении расчётов к нулевым начальным условиям имеет вид рис. 7.96,б; U _руб(p) = = ;

I _{3 д}(p) = = ;

i _{3 д}(t) = 2,684 sin(w ₀ t – 159,34° ) + 0,878 е ^{–50 t} sin( 64,55 t + 79,7° ) А,

i ₃ (t) = i ₃₀ (t) – i _{3 д}(t) = 4,88 sin(w ₀ t – 161,1° ) – 0,878 е ^{–50 t} sin( 64,55 t + 79,7° ) А.