Решение. Данная функция является однородной степени m = 1

Данная функция является однородной степени m = 1.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

(15)

называется однородным, если - однородные функции одной и той же степени.

Замечание.Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:

(16)

Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

(17)

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

(18)

тогда

(19)

Подставляя (18) и (19) в уравнение (17), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно и .

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Разделив данное уравнение на произведение , получим

Выразим у'

Получили однородное уравнение. Сделаем замену:

Тогда

Получили уравнение с разделяющимися переменными.

Далее

Интегрируя последнее равенство, получим

Умножим последнее равенство на (-1)

Подставив вместо , получим общее решение уравнения

Пример 9. Решить уравнение

Решение. Учитывая, что x ¹ 0, разделим данное уравнение на х:

Подставим в преобразованное уравнение

Учитывая, что , тогда

Разделим переменные

Интегрируя, получим

Вернемся к старым переменным

- общий интеграл уравнения.