Дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.

Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производную первого порядка или дифференциалы и .

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

(1)

Если это уравнение можно разрешить относительно у ', то оно примет вид

(2)

Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями

Определение. Решением дифференциального уравнения (1) называется функция , обращающая уравнение в тождество.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

, (3)

которая зависит от произвольной постоянной с и обращает дифференци­альное уравнение (1) в тождество.

Определение. Общее решение

(4)

заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.

Определение. Частным решением дифференциального уравнения (1) называется функция , которая получается из общего решения (3) при определенном числовом значении .

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

Пусть в уравнении (2) функция и её частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости. Тогда, какова бы ни была точка, всегда существует (и при том только одно) такое решение этого уравнения, которое равно при, т. к..

Условие, что при , называется начальным условием.

Оно записывается в виде

или (5)

Поставим задачу. Найти решение уравнения (2), удовлетворяющее предыдущей теореме.

Такая задача называется задачей Коши.

Определение. Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, называется особым.

Замечание. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную и записывать уравнение (2) в виде

где (6)

Учитывая, что и дифференциальные уравнения (1), (2) и (6) можно записать в форме

(7)

где и - известные функции.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Так как , то получим

Тогда Интегрируя обе части уравнения, окончательно получим

Общее решение данного уравнения образует семейство кубических парабол, т.к. может принимать любое числовое значение.

Рассмотрим частное решение.

Пусть наша кривая проходит через точку М (1,0), см. рис. Подставим координаты точки М в общее решение. Получим

, откуда

Тогда частное решение имеет вид

Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка заключается в том, что общее решение (общий интеграл) (4) представляет собой семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной .

Эти кривые называются интегральными кривыми уравнениями (1), (2).

Частному решению (задачи Коши) соответствует одна кривая этого семейства, проходящая через данную точку плоскости.

Решить дифференциальное уравнение (1) - значит:

1) найти его общее решение (если начальные условия не заданы);

2) найти частное решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям или, другими словами, решить задачу Коши.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.