Уравнения с разделяющимися переменными. Определение. Дифференциальное уравнение вида

Определение. Дифференциальное уравнение вида

(8)

в котором коэффициент при является функцией только от , а коэффициент при - функцией только от , называется уравнением с разделенными переменными.

Функции и должны быть непрерывными для всех значений и .

Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом:

Перенесем слагаемое в правую сторону равенства (8) с противоположным знаком.

Проинтегрируем правую часть уравнения по , а левую по х.

(9)

Полученное равенство (9) является общим интегралом уравнения с разделенными переменными (8).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Переменные уравнения разделены.

Тогда

Интегрируя, получим

или

Тогда или - семейство гипербол.

Замечание. Дифференциалы и должны всегда стоять в числителе.

Определение. Дифференциальное уравнение вида

(10)

в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на множители, зависящие только от и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Разделим уравнение (10) на , получим

Далее

(11)

Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):

Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение .

Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Так как , то получим

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделив это уравнение на и умножив его на , получим

Интегрируя, получим

Откуда - общее решение нашего уравнения в общем виде.

При делении обеих частей уравнения на можно потерять решение
. Оно также является особым (или частным) решением уравнения. Заметим, что это решение можно получить из общего при . Поэтому в ответе достаточно указать

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Представим уравнение в виде

Вынесем общие множители за скобки

Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону

Разделим обе части уравнения на произведение

Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение