![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Дифференциальное уравнение вида
(8)
в котором коэффициент при является функцией только от
, а коэффициент при
- функцией только от
, называется уравнением с разделенными переменными.
Функции и
должны быть непрерывными для всех значений
и
.
Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом:
Перенесем слагаемое в правую сторону равенства (8) с противоположным знаком.
Проинтегрируем правую часть уравнения по , а левую по х.
(9)
Полученное равенство (9) является общим интегралом уравнения с разделенными переменными (8).
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Переменные уравнения разделены.
Тогда
Интегрируя, получим
или
Тогда или
- семейство гипербол.
Замечание. Дифференциалы и
должны всегда стоять в числителе.
Определение. Дифференциальное уравнение вида
(10)
в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на множители, зависящие только от и только от
, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим уравнение (10) на ,
получим
Далее
(11)
Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):
Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение
.
Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Так как , то получим
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделив это уравнение на и умножив его на
, получим
Интегрируя, получим
Откуда - общее решение нашего уравнения в общем виде.
При делении обеих частей уравнения на можно потерять решение
. Оно также является особым (или частным) решением уравнения. Заметим, что это решение можно получить из общего при
. Поэтому в ответе достаточно указать
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Представим уравнение в виде
Вынесем общие множители за скобки
Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону
Разделим обе части уравнения на произведение
Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!