Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер сызықты деп аталады, егер ол мына түрде берілсе

у'+Р(х)у=Q(x),

Мұндағы у-ізделінді функция, Р(х) және Q(x)- белгілі функциялар. Сызықты теңдеулердің шешімін мына түрде табамыз: y=u(x)v(x), мұндағы u(x)- біртекті теңдеулердің қандайда бір шешімі у'+Р(х)у=0, ал v(x)-белгісіз функция.

u'v+uv'+P(x)uv=Q(x), немесе v(u'+P(x)u)+uv'=Q(x) теңдеуіне y=uv және y'=u'v+uv' қоямыз.

u(x)-біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, онда u'+P(x)u=0. Яғни uv'=Q(x). Соңғы теңдеуді интегралдап v(x) функциясын табамыз. Сонда теңдеу айнымалылары ажыратылған екі теңдеуге келтіріледі.

1. у'+Р(х)у=0- қандай да бір дербес шешімін аламыз y=u(x);

2. uv'=Q(x)- жалпы шешімін табамыз.

Жауабын мына түрде жазамыз: y=uv.

5-мысал. Теңдеудішешy=

Шешуі: 1) Бірінші ретті теңдеудің u(x) дербес шешімін табамыз:

y= dx ;

2) Теңдеудің жалпы шешімін табамыз nv'=Q(x), x =x

v'=

Онда соңғы жалпы шешімін аламыз

y=uv=x немесе у=х(С -1).