Функциянвң шегі

Егер кез келген санына сәйкес саны табылып, 0 шартын қанағаттандыратын барлық х үшін теңсіздігі орындалса, онда b саны функциясының х-тің а-ға ұмтылғандағы шегі деп аталады және деп жазылады.

𝒇(a-0)= және сандары𝒇(x) функциясының х ға ұмтылғандағы шегі болуы үшін ол функцияның x=a нүктесіндегі оң жақтық және сол жақтық шектері бар болуы және олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни 𝒇(a-0)=𝒇(a+0)

Шектерді есептеудің негізгі ережелері

1.

2.

3.

4.

5.

6. .

𝒇(x) және g(x) функцияларының x ұмтылғанды ақырлы шектері болғанда ғана шектерді есептеулің негізгі ережелері қолданылады. (a-сан немесе

Шектерді есептеудің негізгі ережелерін қолданып шығаратын мысаалдар қарастырайық.

1-мысал. Есепте:

Шешуі:

=

2-мысал. Есепте:

Шешуі.

=4

Берілген мысалдарда шешімінде көрсетілгендей, шекті табудың қарапайым түрі берілген өрнектің әрқайсысына аргументтің шектік мәнін қою арқылы шегін табамыз.

Егер тең болса, онда x ұмтылғанда 𝒇(x) шексіз аз, ал егер болса шексіз үлкен функция деп аталады. Егерx ұмтылғанда шексіз үлкен болса, онда шексіз аз функция болады. Керісінше, егер𝒇(x) -шексіз аз функция болса, онда функциясы шексіз үлкен болады.

3-мысал. Есепте:

Шешуі. x ұмтылғанда бөлшектің (х+2) алымы 5-ке, ал (х-3) бөлімі 0-ге ұмтылады.(яғни шексіз аз функция). Сондықтан x ке ұмтылғанда бөлшектің қатынасы шексіз үдкен функция, яғни

4-мысал. Есепте:

Шешуі: Бөлшектің алымы-тұрақты сан, x ұмтылғанда бөлшектің бөлімі шексіз үлкен функция, сондықтан x ұмтылғанда функциясы шексіз аз. Демек

Егер x ұмтылғанда және g(x) функциялары эквивалентті деп аталады, егер олардың шектерінің қатынасы 1-ге тең болса. Оны былай жазуға болады:

Егер , онда x үшін𝒇(x)

Шектерді есептеуде x ұмтылғанда келесі функциялардың эквиваленттілігін қолдануға болады:sinx

Көпмүше x ұмтылғанда өзінің ең үдкен мүшесіне эквивалентті болады.

Мысалы, 𝒇(x)= Ең үлкен мүшесі Шекті есептемейміз = ұмтылғанда және бөлшектерінің әрқайсысы 0-ге ұмтылды) Бұл x ұмтылғанда

екенін білдіреді.

Кейде функцияның шегін есептеп шығаруда шек таңбасының астында екі функцияның қатынасының шегі тұрса және жағдай да алымының да, бөлімінің де шегі 0-ге немесе –ке тең болса, бұл жағдай да

Ұмтылғанда және түріндегі анықталмағандықтарын кездестіреміз(а-сан немесе) Бұл жағдайда бөлшекті (х-а) көбейткішіне жіктеу арқылы анықталмағандықтан құтыламыз.

5-мысал. Есепте:

Шешуі. Бөлшектің алымы мен бөлімі болғанда 0-ге тең болады

(түріндегі анықталмағандық). Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуді қолданып, мынаны аламыз:

6-мысал. Есепте:

Шешуі: Бөлшектің алымы мен бөлімі бодғанда 0-ге тең болады.

(түріндегі анықталмағандық) Бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктейміз: Виет теоремасы бойынша

Бұдан,

Сол сияқты,

7-мысал. Есепте:

Шешуі: Бұл да түріндегі анықталмағандық. Бұл анықталмағандықты ашу үшін, бөлшетің алымы мен бөлімін иррационалдықтың түйіндесіне өрнегіне көбейтеміз. Бұл бізге бөлшектің бөліміндегі иррационадықтан құтылуға және квадраттар айырымының формуласын қолдануғамүмкіндік береді. Сонымен қатар,

8-мысал. Есепте:

Шешуі: Бұл түріндегі анықталмағандық. Көпмүше ұмтылғанда өзінің ең үлкен мүшесіне эквивалентті. Сондықтан ұмтылғанад

Демек,

9-мысал. Есепте:

Шешуі: үшін

Сондықтан(ұмтылғанда х-шексізүлкен функция, шексіз аз)

Шешуі. Теңдеудің екі жағында х-ке бөліп у'= аламыз. z= қойып, у'=2z-1, немесе хz =z-1.

Айнымалыларды бөліп интегралдаймыз:

Яғни, z-1=Cx, мұндағы = Cx,немесе у =х+С жалпы шешімі.