Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений

Рассмотрим тело D, ограниченное плоскостями х = а и х = b (рис. 247).

Через S(x) обозначим площадь сечения тела D плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х [ а; b ] и перпендикулярной оси Ох. Будем предполагать, что

1) функция S(x) непрерывна на [ а; b ];

2) для любых x ₁ и x ₂ из [ а; b ] сечения тела D плоскостями х = x ₁ и х = x ₁ таковы, что одно из них проектируется в другое.

Тело D, обладающее этими свойствами, будем называть телом с допустимыми параллельными сечениями.

Теорема. Объем тела с допустимыми параллельными сечениями вычисляется по формуле

(1)

Отрезок [ а; b ] точками

разобьем на п отрезков [ х_{i —1} ; х_i ] длины

Пусть т_i и M _i — наименьшее и наибольшее значения функции S(x) на отрезке
[ х_{i —1} ; х_i ].

Плоскостями х = х_i, где i = 1, 2,..., п — 1, тело D разобьем на n слоев. Выделим i -й слой, соответствующий отрезку [ х_{i —1} ; х_i ], и построим два цилиндра высрты Δ х_i :
один с основанием площади M _i, содержащий i -й слой, а другой с основанием площади т_i , содержащийся в i -м слое (рис. 248).

Объемы этих цилиндров равны M _i Δ х_i и т_i Δ х_i.

Произведя указанные построения для каждого слоя, получим два ступенчатых тела D' _n и D" _n таких, что D' _n < D < D'' _n.

Их объемы равны

Так как функция S(x) непрерывна, то V' _n и V" _n при п —> ∞ имеют один и тот же предел, равный .

Следовательно, объем тела D вычисляется по формуле (1).

Замечание. Можно доказать, что формула (1) остается справедливой и в том случае, когда условие 2) для тела D не выполняется.

Задача. Определить объем тела, отсекаемого от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания и составляющей с плоскостью основания угол α (α < 90°). Радиус основания цилиндра равен R.

Введем систему координат так, как показано на рис. 249, и рассмотрим сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными оси Оx.

Вычислим площадь сечения плоскостью, проходящей через точку А с абсциссой х,
|х | < R. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник ABC, и поэтому