 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
|
|
Иногда такой несобственный интеграл еще называют несобственным интегралом первого рода. В общем виде несобственный интеграл с бесконечным пределом чаще всего выглядит так: 
. В чем его отличие от определенного интеграла? В верхнем пределе. Он бесконечный: 
.
Реже встречаются интегралы с бесконечным нижним пределом 
или с двумя бесконечными пределами: 
.
Мы рассмотрим самый популярный случай 
. Техника работы с другими разновидностями – аналогична, и в конце параграфа будет ссылка на такие примеры.
Всегда ли существует несобственный интеграл? Нет, не всегда. Подынтегральная функция
должна быть непрерывнойна промежутке
Справка: строго говоря, утверждение неверно: если есть разрывы функции, то в ряде случаев можно разбить полуинтервал на несколько частей и вычислить несколько несобственных интегралов. Для простоты здесь и далее я буду говорить, что несобственного интеграла не существует.
Изобразим на чертеже график подынтегральной функции . Типовой график и криволинейная трапеция для данного случая выглядит так:
Здесь всё хорошо, подынтегральная функция непрерывна на полуинтервале , а, значит, несобственный интеграл существует. Обратите внимание, что криволинейная трапеция у нас – бесконечная (не ограниченная справа) фигура.
Несобственный интеграл численно равен площади заштрихованной фигуры, при этом возможны два случая:
1) Первое, мысль, которая приходит в голову: «раз фигура бесконечная, то 
», иными словами, площадь тоже бесконечна. Так быть может. В этом случае говорят, что, что несобственный интеграл расходится.
2) Но. Как это ни парадоксально прозвучит, площадь бесконечной фигуры может равняться… конечному числу! Например: 
. Может ли так быть? Запросто. Во втором случае несобственный интеграл сходится.
В каких случаях несобственный интеграл расходится, а в каком сходится? Это зависит от подынтегральной функции , и конкретные примеры мы очень скоро рассмотрим.
А что будет, если бесконечная криволинейная трапеция расположена ниже оси? В этом случае, несобственный интеграл 
(расходится) либо равен конечному отрицательному числу.
Несобственный интеграл может быть отрицательным.
Важно! Когда Вам для решения предложен ЛЮБОЙ несобственный интеграл, то, вообще говоря, ни о какой площади речи не идет и чертежа строить не нужно. Ваша задача найти ЧИСЛО либо доказать, что несобственный интеграл расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла я рассказал только для того, чтобы легче было понять материал.
Коль скоро, несобственный интеграл очень похож на определенный интеграл, то вспомним формулу Ньютона- Лейбница: 
. На самом деле формула применима и к несобственным интегралам, только ее нужно немного модифицировать. В чем отличие? В бесконечном верхнем пределе интегрирования: . Наверное, многие догадались, что это уже попахивает применением теории пределов, и формула запишется так: 
.
В чем отличие от определенного интеграла? Да ни в чем особенном! Как и в определенном интеграле, нужно уметь находить первообразную функцию 
(неопределенный интеграл), уметь применять формулу Ньютона-Лейбница. Единственное, что добавилось – это вычисление предела. У кого с ними плохо, изучите урок Пределы функций. Примеры решений, ибо лучше поздно, чем в армии.
Рассмотрим два классических примера:
Пример 1
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.
Для наглядности я построю чертеж, хотя, еще раз подчеркиваю, на практике строить чертежи в данном задании не нужно.
Подынтегральная функция 
непрерывна на полуинтервале 
, значит, всё нормально и несобственный интеграл можно вычислить «штатным» методом.
Применение нашей формулы и решение задачи выглядит так:
То есть, несобственный интеграл расходится, и площадь заштрихованной криволинейной трапеции равна бесконечности.
В рассмотренном примере у нас простейший табличный интеграл и такая же техника применения формулы Ньютона-Лейбница, как в определенном интеграле. Но применятся эта формула под знаком предела. Вместо привычной буквы 
«динамической» переменной выступает буква «бэ». Это не должно смущать или ставить в тупик, потому что любая буква ничем не хуже стандартного «икса».
Если Вам непонятно почему 
при 
, то это очень плохо, либо Вы не понимаете простейшие пределы (и вообще не понимаете, что такое предел), либо не знаете, как выглядит график логарифмической функции. Во втором случае посетите урок Графики и свойства элементарных функций.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 356 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
