Примеры вычисления площади криволинейного сектора

Разберемся с вычислением площади криволинейного сектора, заданного в полярной системе координат, при решении примеров.

Пример.

Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией и лучами .

Решение.

Функция положительна и непрерывна на отрезке . Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.

Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади:

Когда заданы два луча , ограничивающие фигуру, не приходится думать о пределах интегрирования при вычислении площади. Однако более распространены задачи, где фигуру ограничивает лишь кривая . Как же в этом случае применять формулу ?

В таких примерах сначала следует решить неравенство , откуда становятся видны пределы интегрирования.