Вычисление площади плоских фигур в полярных координатах

Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

На рисунке полюс изображен черной точкой, полярная ось – черным жирным лучом, а красная точка определяется углом и расстоянием до полюса .

На практике очень часто полярную систему координат рассматривают вместе с прямоугольной декартовой, совмещая начала координат и полярную ось с осью абсцисс.

Связь декартовых и полярных координат задается соотношениями и обратно .

На чертеже красная точка имеет координаты , а в полярной системе координат определяется углом и расстоянием до полюса .

В полярной системе координат равенство задает луч, выходящий из полюса и составляющий угол с полярной осью ( задается в радианах или градусах). Полярная ось задается уравнением . Равенство задает окружность с центром в начале координат радиуса C. В свою очередь функция определяет некоторую линию в полярных координатах.

Обратите внимание, что мы будем считать функцию всегда НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, так как с геометрической позиции она задает расстояние от полюса до точки для данного значения угла . Однако, иногда рассматривают и отрицательные значения функции , так что желательно уточнить у преподавателя его отношение к этому вопросу.

Ниже на рисунке приведены несколько примеров линий в полярной системе координат.

Теперь можно дать определение криволинейного сектора.

Определение.

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная лучами и некоторой линией , которая непрерывна на отрезке .

На чертеже приведены несколько примеров криволинейных секторов.

На последнем рисунке фигура заключена между лучами , но они не являются ее границами.