Площадь криволинейного сектора - вывод формулы

Выведем формулу для вычисления площади криволинейного сектора.

Для этого нам понадобится известная из школьного курса геометрии формула площади кругового сектора радиуса R с внутренним углом : ( задается в радианах).

Разобьем криволинейный сектор на n частей такими лучами , что и при .

В силу свойств площади фигуры, площадь исходного криволинейного сектора представится суммой площадей криволинейных секторов на каждом участке разбиения .

Пусть и - наименьшее и наибольшее значение функции на i -ом отрезке . На каждом таком отрезке построим по два круговых сектора и с радиусами и соответственно.

Обозначим P и Q фигуры, являющиеся объединением круговых секторов и соответственно.

Их площади будут равны и , причем .

Так как функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке будет также непрерывна функция . Для этой функции S(P) и S(Q) можно рассматривать аналогично нижней и верхней суммам Дарбу, что приводит нас к равенству

Таким образом, площадь криволинейного сектора находится по формуле .