Проверка сложной гипотезы о вероятностях

Пусть A ₁ ,...,A_m - m исходов некоторого опыта, n - число независимых повторений опыта, n₁ ,..., n _m - числа появлений исходов. Проверяемая гипотеза Н предполагает, что вероятности исходов P(A_i) являются известными функциями p_i(a) k -мерного параметра a = (a ₁ ,...,a_k), т.е.

Н: Р(А_i) = p_i(a), i = 1 ,..., m,

но значение а неизвестно.

Для проверки гипотезы Н определим статистику

(6)

По теореме Фишера, если Н верна, то при n ® ¥ распределение статистики Х² асимптотически подчиняется распределению хи-квадрат с числом степеней свободы f = m -1- k, и потому отклоняем Н, если

³ h, (7)

где h = Q (1 - a, f) - квантиль уровня 1- a распределения хи-квадрат с числом степеней свободы f; такой порог обеспечивает выбранный уровень a вероятности P (отклонить Н / Н) ошибки 1-го рода. Если (7) не выполняется, делаем вывод, что наблюдения не противоречат гипотезе. Распределению хи-квадрат с f = m -1- k степенями свободы асимптотически подчиняется также статистика

, (8)

где - оценка максимального правдоподобия для а, и потому в (7) может быть использована статистика (8) вместо (6). Процедура (7) может быть записана иначе: если

P{ c _f² ³ X²} £ a (9)

то гипотеза Н отклоняется.