Задание на самостоятельную работу

1) для заданной задачи построить оценку заданным методом (варианты заданий см. ниже);

2) построить доверительный интервал, основанный на этой оценке;

3) сгенерировать выборку заданного объема;

4) вычислить доверительный интервал.

Отчет по работе должен содержать:

постановки вопросов, формулы,

графики испытания доверительного интервала для 2-х случаев: с известной и неизвестной дисперсией (по п. 1.2),

таблицу доверительных интервалов для различных Р_Д (по п. 1.3),

вывод формул для оценок и интервалов, сгенерированную выборку и вычисленный интервал (по п. 1.4).

Варианты задач.

Задача 1. Расстояние а до некоторого объекта измерялось n₁ раз одним прибором и n₂- вторым; результаты х₁,…,х_n1; y₁,…,y_n2. Оба прибора при каждом измерении дают независимые случайные ошибки, нормально распределенные со средним 0 и стандартными отклонениями s₁ и s₂ соответственно. Методом максимального правдоподобия построить оценку â для а и доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д.

Варианты исходных данных

¹	n 1	n 2	s1, км	s2, км	РД	a, км
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95
					0.98
					0.95

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода). Оценка

, где с = ;

доверительный интервал

I=(, ),

где - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения N(0,1).

Задача 2. Изготовлена большая партия из N =10000 приборов. Известно, что время безотказной работы случайно и распределено по показательному закону с плотностью

, x ³ 0

С целью определения значения параметра а этой партии были поставлены на испытания n приборов; времена безотказной работы оказались равными х₁,…,х_n. Методом моментов построить оценку для а и доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д. Кроме того, построить доверительный интервал для числа М приборов, имеющих время безотказной работы менее 50 часов.

Варианты исходных данных

N
ÐД	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95	0.99	0.95
À

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода). Оценка

;

доверительный интервал для а

I_a = (, ),

где t₁=Q (2n, (1-Р_Д)/ 2), t₂=Q (2n, (1+Р_Д)/ 2) - квантили распределения хи-квадрат с 2n степенями свободы; доверительный интервал для М

I_M = (N (1- exp (- )), N (1- exp (- ))).

Задача 3. Некоторое неизвестное расстояние а измерялось с аддитивной случайной ошибкой e, распределенной по закону Коши с плотностью

p _e (x) = , - ¥ < x < ¥.

По результатам х₁,…,х_n независимых измерений методом порядковых статистик построить оценку для а и приближенный доверительный интервал с коэффициентом доверия Р_Д.

Варианты исходных данных

n
b
ÐД	0.95	0.98	0.95	0.98	0.96	0.98	0.95	0.98	0.95
a

измерения получить моделированием с заданным параметром а.

Решение (без вывода).Оценкой для а является выборочная медиана - порядковая статистика с номером[ n/2 ] + 1

,

или

(у этих статистик асимптотические свойства одинаковы). Приближенный доверительный интервал, основанный на асимптотическом распределении выборочной р -квантили

I =(),

где t_p=Q((1+Р_Д)/2) - квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 распределения N(0,1).

Задача 4. В водоеме обитает некоторая биологическая популяция, состоящая из смеси особей двух возрастов. Длина особи - случайная величина, распределенная по нормальному закону N(a_i, s_i² ), где i=1,2 - индекс, относящийся к возрасту. С целью определения доли q особей 1-го возраста проведен отлов n особей и измерена их длина. По результатам х₁,…,х_n методом моментов построить оценку для q и приближенный доверительный интервал с уровнем доверия Р_Д. Построить гистограмму наблюдений.

Варианты исходных данных

n
à1
à2
ÐÄ	0.95	0.95	0.98	0.95	0.95	0.98	0.95	0.95	0.98
q	0.5	0.4	0.3	0.5	0.4	0.3	0.5	0.4	0.3

Принять s₁=1см, s₂=1см. измерения получить моделированием с заданным значением q.

Решение (без вывода):

I = (q₁, q₂ ),

, a_n º ,

t_p - квантиль порядка (1+ Р_Д)/ 2 для N (0,1).

1. Выполнение в пакете STATISTICA