Проверка простой гипотезы о вероятностях

Обозначим:

A ₁ ,..., A_m - m возможных исходов некоторого опыта; p ₁ ,..., p_m - вероятности соответствующих исходов, ;

n - число независимых повторений опыта;

n₁ ,..., n _m - число появлений соответствующих исходов в n опытах, ;

p ,..., p - гипотетические значения вероятностей, p > 0, .

Требуется по наблюдениям n ₁ ,...,n_m проверить гипотезу Н о том, что вероятности p ₁ ,..., p_m имеют значения p ,..., p , т.е.

Н: p_i= p , i= 1 ,...,m.

Оценками для p ₁ ,..., p_m являются = n₁ /n,..., = n _m/n. Мерой расхождения между гипотетическими и эмпирическими вероятностями принимается величина

,

которая с точностью до множителя n есть усредненное с весами p значение квадрата относительного отклонения значений от p . Статистика X² называется статистикой хи-квадрат Пирсона. Для ее вычисления используются две формулы:

. (1)

Условно статистику можно записать так:

Н - наблюдаемые частоты n _i, Т - теоретические (ожидаемые) частоты np .
Поскольку по закону больших чисел ® p_i при n ® ¥, то

.

Последняя величина равна 0, если верна Н; если же Н не верна, то X² ® ¥.

Процедура проверки гипотезы состоит в том, что если величина X² приняла “слишком большое” значение, т.е. если

X² ³ h, (2)

то гипотеза Н отклоняется; если это не так, будем говорить, что наблюдения не противоречат гипотезе. На вопрос, что означает “слишком большое” значение, отвечает

Теорема К. Пирсона. Если гипотеза Н верна и p_i ⁰> 0, i= 1,..., m, то при n® ¥ распределение статистики Х² асимптотически подчиняется распределению хи-квадрат с m - 1 степенями свободы, т.е.

Р{ X² < x / H } ® F_{m- 1} (x) º P{ c ²_{m- 1} < x }.

Порог h выберем из условия: вероятность ошибки первого рода должна быть малой - равной выбираемому значению a - уровню значимости:

P { отклонить H / H верна} = P { X ² ³ h / H } @ P {c ²_{m- 1}³ h } = a,

откуда

h = Q( 1 - a, n -1 ) (3)

- квантиль уровня 1-a распределения хи-квадрат с m -1 степенями свободы.

Процедура (2) - (3) проверки Н может быть записана иначе: гипотеза Н отклоняется, если

P{ c ²_{m- 1}³ X²} £a, (4)

т.е. если мала вероятность получения (при справедливости Н) такого же расхождения, как в опыте (т.е. X²), или ещё большего. Вероятность слева в (4) называется минимальным уровнем значимости (при любом значении a, большем P { X²_{m- 1} ³ X² }, гипотеза, очевидно, отклоняется).

Замечание. Теорему Пирсона можно применять, если все ожидаемые частоты

np ³ 10, i= 1 ,...,m; (5а)

если m порядка десяти и более, достаточно выполнения

np ³ 4, i= 1 ,...,m. (5б)

Если (5) не выполняется, необходимо некоторые исходы А_i объединять