Интервалы для параметров нормального распределения

Пусть х₁, …,х_n - выборка из нормального N(a,s²) распределения; значения среднего а и дисперсии s² неизвестны. Оценки для а и s²:

, . (7)

Как известно, доверительным интервалом для среднего а с уровнем доверия Р _Д при неизвестной дисперсии является интервал

I (x) = (a₁ (х), a₂ (х)),(8)

где , , (9) t_p - квантиль порядка (1+ Р _Д)/2 распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Доверительным интервалом для стандартного отклонения s с уровнем доверия Р _Д является интервал

I (x) = (s₁ (х), s₂ (х)), (10 )

где , , (11)

t₁ и t₂ - квантили порядков соответственно (1+ Р _Д)/2 и (1- Р_Д)/2 распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Сгенерируем выборку объема n=20 из нормального распределения с параметрами a = 10, s²= 2²=4 и определим доверительные интервалы для a и s с уровнем доверия Р _Д: 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995, 0.998, 0.999. Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом Р _Д интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.

Выполнение см. в пп. 2 - 4.

Если нас интересуют не интервалы, а верхние или нижние доверительные границы, то, как известно, они определяются теми же формулами (9) è (11), îäíàêî, çíà÷åíèÿ ïîðîãîâ t изменяются. Например, нижней доверительной границей для a с уровнем доверия Р _Д является значение

,

где t_p - квантиль порядка Р _Д распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы, а верхней границей для s с уровнем доверия Р _Д является

,

где t₂ - квантиль порядка 1- Р _Д распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Задание: определить верхние доверительные границы для а и s с уровнем доверия Р _Д = 0.95.