Метод моментов. Пусть x1, , xn - n независимых наблюдений над случайная величиной x с функцией распределения F (x/a)

Пусть x₁,..., x_n - n независимых наблюдений над случайная величиной x с функцией распределения F (x/a), зависящей от параметра a º (a₁,..., a_R), n³R; значение параметра требуется оценить по наблюдениям.

Пусть m_k = Mx^k - момент порядка k. Моменты являются функциями параметра a: m_k= f_k(a₁,..., a_R). Пусть существуют первые R моментов m₁,..., m_R. Если бы моменты были известны, можно было бы составить систему уравнений для определения параметров по моментам:

m₁ = f₁ (a₁,...,a_R),

...

m_R = f_R (a₁,...,a_R);

пусть эта система разрешима относительно a:

a₁ = g₁(m₁,...,m_R),

... (1)

a_R = g_R(m₁,...,m_R).

когда решается задача оценивания, значения моментов неизвестны, однако, для моментов имеются несмещенные и состоятельные оценки

, k =1,...,R.

Подставив их в (1) вместо m_k, получим некоторые оценки для a_j:

(x₁,... x_n) = g₁ ( ₁,..., _R ),

...

(x₁,... x_n) = g_R ( ₁,..., _R ),

которые называют моментными оценками.

Несмещенностью они, вообще говоря, не обладают; обычно их исправляют. Справедливы следующие свойства.

1. Если функции g_j (×), j = 1,..., R, непрерывны, то оценки состоятельны.

2. Если функции g_j(×) дифференцируемы, а распределение при любом a имеет 2R моментов, то оценки асимптотически нормальны:

~ N (a_j, .

Замечания.

1. В равенствах (1) вместо первых моментов можно взять любые R моментов так, чтобы система была разрешима.

2. Моментные оценки не всегда обладают хорошими характеристиками. Однако, часто они достаточно просты в вычислительном отношении.