Метод порядковых статистик

Пусть x₁,..., x_n - n независимых наблюдений над случайная величиной x с функцией распределения, зависящей от параметра a, значение которого тебуется оценить; x_{(1 )}£ x₍₂₎ £... £ x_(n) - вариационный ряд (наблюдения, упорядоченные по возрастанию), x_(k) - порядковая статистика с номером k.

Квантиль x_р выбранного уровня р (например, р = 0.5, x_0.5 -медиана) является функцией параметра а:

x_р = f (a),

выразим а через x_р

а = g (x_р)

и вместо x_р подставим выборочную квантиль = x _{([ np ]+1)}, которой является порядковая статистика с номером [ np ] +1; получим оценку

= g (x _{([ np ]+1)})

Известны следующие свойства.

Если функция g непрерывна, то оценка состоятельна. Если распределение наблюдений непрерывно с плотностью q(x), то асимптотически нормальна с параметрами

M = x_р, D =

(теорема Крамера).

Ясно, что таким же образом можно построить оценки и для неодномерного параметра. Основное и очень важное преимущество оценок, основанных на порядковых статистиках, - их устойчивость к засорению наблюдений.