Теорема Лапласа

Минор

Пусть — квадратная матрица порядка с коэффициентами из кольца , .

Определение 1. Минором ¹⁾ порядка произвольной матрицы называется определитель ее подматрицы порядка .

Таким образом, чтобы найти некоторый минор порядка , мы должны выполнить следующие действия. Зафиксируем в матрице любые строк с номерами и столбцов с номерами . Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу. Ее определитель — это минор порядка , который мы будем обозначать через .

Пример 1. Рассмотрим матрицу порядка 3: . Выберем в ней 2-ю строчку и 3-й столбец. Тогда число, стоящее на пересечении этой строчки и этого столбца, — минор порядка 1. Всего в этой матрице 9 миноров порядка 1.

Пример 2. В матрице из примера 3 выберем 1-ю и 3-ю строки и 1-й и 2-й столбец. Соответствующий минор будет равен .

Определение 2. Пусть — минор порядка квадратной матрицы , построенный на строках с номерами и столбцах с номерами . Вычеркнув из матрицы эти строки и столбцы, получим квадратную матрицу, определитель которой будем называть дополнительным минором ²⁾ к минору . Произвольный элемент матрицы можно рассматривать как минор . В этом случае называют дополнительным минором к элементу .

Пример 3. Дополнительный минор к минору из примера 4 равен .

Пример 4. Дополнительный минор к элементу матрицы из примера 3 равен .