Евклидово пространство. Определение 2. Евклидовым векторным пространством2) называется векторное пространство над полем с фиксированным скалярным произведением

Определение 2. Евклидовым векторным пространством ²⁾ называется векторное пространство над полем с фиксированным скалярным произведением .

Пример 3. Пространство является евклидовым пространством. Скалярное произведение здесь можно задать формулой из примера 2.

Определение 3. Пусть — евклидово пространство. Для любого число называется длиной, или нормой вектора .

Предложение 1 ( Неравенство Коши-Буняковского ). Для произвольных векторов из евклидова пространства справедливо неравенство
.

Пример 4. В случае, когда евклидово пространство — это пространство непрерывных на отрезке вещественнозначных функций³⁾, неравенство Коши-Буняковского имеет вид
.

Определение 4. Векторы из евклидова пространства называются ортогональными ⁴⁾, если .