Расчет надежности восстанавливаемой системы с ограниченным числом ремонтных бригад

Пусть система состоит из n-элементов, среди которых z - основных элементов и х-резервных, интенсивность отказа основных элементов - l, резервных - al., с - число ремонтных бригад, с<х.

Если различать состояния в объекте по числу отказавших элементов, то моэно выделить следующие состояния:

{E₀,E₁,..,E_i,..,E_x,E_x+1}.

В состоянии E_x+1 система не работает.

Надежность системы в этом случае определяется как:

.

Вероятность обслуживания (восстановления) элемента на интервале Dt при экспоненциальном законе надежности с параметром m равна mDt.

Составим систему дифференциальных уравнений для расчета надежности данной системы. Для примера опишем события в системе, которые определяют нахождение системы в момент времени t+Dt в состоянии E_j, когда с<=j, т.е. число ремонтных бригад меньше числа отказавших элементов. Итак, вероятность нахождения системы в момент времени t+Dt в состоянии E_j определяется суммой вероятностей следующих событий:

· в момент времени t система находилась в состоянии E_j и на интервале Dt не отказал ни один из работающих элементов ;

· в момент времени t система находилась в состоянии E_j-1 и на интервале Dt отказал один из работающих элементов ;

· в момент времени t система находилась в состоянии E_j+1 и на интервале Dt восстановился один из отказавших элементов .

.

Система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

Система решается при следующих начальных условиях:

P₀(0)=1, P_i(0)=0, i=1,...x+1.

Для получения общего решения можно использовать обратное преобразование Лапласа. При t®¥ в стационарном режиме вероятности нахождения системы в любом из состояний стремятся к своим финальным значениям. Для определения этих финальных значений в полученной системе дифференциальных уравнений необходимо все производные приравнять к 0. Ниже приводится решение полученной таким образом системы алгебраических уравнений

.

Коэффициент готовности восстанавливаемой системы определяется как

К_г = .