Теоретичні відомості. Наближене знаходження дійсних коренів рівняння f(х) = 0 складається із 2-х етапів:

Наближене знаходження дійсних коренів рівняння f (х) = 0 складається із 2-х етапів:

відділення кореня, тобто встановлення таких інтервалів (a, b), у яких міститься один корінь рівняння;

уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого ступеня точності.

Графічне відділення коренів.

Дійсні корені рівняння f (х) = 0 приблизно можна визначити як абсциси точок перетинання графіка функції y = f (х) з віссю х. На практиці часто буває корисно рівняння f (x) = 0 замінити рівносильним йому рівнянням f ₁(х) = f ₂(х), де функції f ₁(х) і f ₂(х) більш прості, чим функція f (х). Тоді, побудувавши графіки функцій у ₁ = f ₁(х) і y ₂ = f ₂(х), шукані корені одержимо як абсциси точок перетинання цих графіків. Перевірка правильності відділення коренів заснована на використанні теореми Больцано-Коші.

Теорема. Якщо неперервна функція f (x) приймає значення різних знаків на кінцях відрізка [ a; b ], тобто f (a)× f (b)<0, то усередині цього відрізка міститься принаймні один корінь рівняння f (х) = 0.

Корінь буде єдиний, якщо похідна існує і зберігає постійний знак в середині інтервалу (a, b).

Корені відділені правильно, якщо f (a)× f (b)<0.

Метод проб (дихотомії, половинного розподілу).

Нехай дано рівняння f (х) = 0, де f (х) неперервна, монотонна функція на відрізку [ a, b ], крім того, f (а)× f (b) < 0. Для уточнення кореня обчислюється значення f (х) у середній точці відрізка [ a; b ] – точці с = (a + b)/2. Якщо f (с) = 0, то с – корінь рівняння. Якщо f (с) 0, то вибираємо той із проміжків (a, c) чи (c, b), на кінцях якого функція f (x) має протилежні знаки. Процес розподілу проміжку на дві частини проводиться доти, поки не одержимо проміжок (а_n, b_n), довжина якого не перевищує 2e (e – задана точність обчислення кореня). Корінь рівняння дорівнює e.

Метод Ньютона (метод дотичних).

Якщо неперервні і зберігають знак на проміжку (a, b), то уточнення кореня виконується за рекурентною формулою

причому за х ₀ приймається той кінець інтервалу, у якому знак функції f (x)збігається зі знаком другої похідної .

Метод ітерацій.

Для уточнення кореня методом ітерації рівняння f(x) = 0 еквівалентним чином перетворюється до вигляду x = j(x). Ітераційний процес уточнення кореня сходиться, якщо на інтервалі (а; b) |j¢(x)|<1.

Перетворення рівняння f (x) = 0 до вигляду x = j(x):

f (x) = 0 c×f (x) = 0 x = x + c×f (x), тобто j(x) = x + c× f (x),

Прирівнюючи j¢(x) 0,5 чи – 0,5, одержуємо

чи , де .

Рекурентна формула уточнення коренів:

де .