Задача 8. Исследовать функцию и построить ее график

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Определим область существования функции. Квадратный трехчлен, стоящий под знаком логарифма, можно представить так:

Как видно, под знаком логарифма будет положительное число при любом значении аргумента x. Следовательно, областью существования данной функции служит вся числовая ось.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Функция всюду непрерывна и не имеет точек разрыва.

3. Установим четность и нечетность функции. Так как , то функция не является ни четной ни нечетной.

4. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную:

Знаменатель для любого x. Как видно, при первая производная отрицательна, а при положительна. При первая производная меняет свой знак с минуса на плюс. В этой точке функция имеет минимум:

Итак, – точка минимума. Функция убывает на интервале и возрастает на интервале .

b) Определим точки перегиба графика функции и интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Для этого находим вторую производную:

Разобьем всю числовую ось на три интервала: Как видно, в первом и третьем интервалах вторая производная отрицательна, а во втором интервале положительна. При вторая производная меняет знак. Эти значения аргумента являются абсциссами точек перегиба. Определим ординаты этих точек:

Следовательно, мы получили точки перегиба графика функции - График является выпуклым в интервалах и вогнутым в интервале

c) Определим уравнения асимптот графика функции. Для определения уравнения асимптоты воспользуемся формулами:

Имеем

Чтобы найти искомый предел, дважды применяем правило Лопиталя:

Итак, кривая не имеет асимптот. График исследуемой функции показан на рис.2.

рис.2

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

b) Функция терпит разрыв при . При всех других значениях аргумента она непрерывна.

c) Функция не является ни четной ни нечетной, так как

d) Исследуем функцию на экстремум. Используя второй достаточный признак экстремума: если в стационарной точке вторая производная отлична от нуля, то в этой точке функция имеет максимум, если вторая производная в этой точке <0, и минимум, если вторая производная в этой точке >0. Находим первую производную:

(1)

или

Как видно, первая производная равна нулю при и не существует при Так как при заданная функция не существует. То эта точка не подлежит исследованию. Дифференцируя (1), находим вторую производную:

Сократив на и выполнив преобразования в числителе, получим

(2)

Так как то при функция имеет максимум. Так как то при функция имеет минимум.

Вычислим значения функции в точках экстремума: Следовательно, точка (1;3) – точка максимума, а точка (3;7) – точка минимума.

b) Из (2) видно, что вторая производная ни при каком значении аргумента не обращается в ноль. Следовательно, график исследуемой функции не имеет точек перегиба.

c) Определим асимптоты графика функции. есть уравнение вертикальной асимптоты. Используя соответствующие формулы, выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты:

Следовательно, - уравнение наклонной асимптоты. График исследуемой функции приведен на рис.3.

рис.3