Задача 2. Функция y задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента x:

Функция y задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента x:

Требуется:

1) найти точки разрыва функции, если они существуют;

2) найти предел функции y при приближении аргумента x к точке разрыва слева и справа;

3) найти скачок функции в точке разрыва.

.

Решение:

Неэлементарная функция y определена для всех значений . Она может иметь разрыв в точках и , где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция непрерывна, т.к. каждая из формул которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента .

Исследуем точки и :

согласно условию значения функции в точке определяется первой формулой

,

следовательно в точке выполняются все условия непрерывности:

функция определена в окрестности точки и .

Поэтому в точке функция непрерывна

Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, т.е. не выполняется условие непрерывности. Поэтому в точке функция имеет разрыв (конечный).

Скачок функции в точке разрыва конечный

График функции показан на рис.1.

рис.1