Условие выхода из процесса стационарной простой итерации по заданной точности

В качестве условия выхода из вычислительного процесса (4) при достижении заданной точности решения можно принять:

(8)

где спектральный радиус или какая-либо оценка другой нормы .

Докажем верность этого практического способа выхода из процесса итераций гарантирующего достижение заданной точности вычислений в общем случае простой итерации со знаменателем . Считается, что корень на ой итерации вычислен с точностью , если . Здесь модуль есть евклидовая норма вектора , а - вектор ошибки на ой итерации. Контролю же в процессе вычислений поддаётся величина , где - разность векторов решения на двух соседних итерациях. Установив связь между этими величинами, мы получим возможность проводить вычисления с заданной точностью. Заметим, что при в сходящемся процессе, а также . Учитывая неравенство треугольника

При , учитывая (5) получаем

Таким образом, требование

(9)

обеспечивает заданную точность вычислений . Чтобы критерий выхода из процесса вычислений правильно работал, необходимо следить, чтобы оценка находилась в пределах .