Оптимальный параметр сходимости МОПИ для некоторых важных случаев области расположения спектра

Пусть спектр локализован на луче, исходящем из точки 1, и известны собственные числа , , для которых достигаются минимальное и максимальное по модулю значения и (или нижняя и верхняя границы расстояния от точки 1 до области расположения спектра в случае непрерывного спектрального множества). Тогда для ОП справедлива, очевидно, простая формула (оптимальный круг - круг, у которого отрезок - диаметр)

(17)

Радиус сходимости при этом, обозначив , ,

(18)

В частном случае формула (17) верна при вещественном спектре оператора , если оператор суть положительно (отрицательно) определенный и - границы расположения положительного вещественного спектра. Формула (17) также точная в случае, если область локализации спектра находится в комплексном круге, а его граница также принадлежит спектру. В указанных случаях значение ОП сходимости можно выразить аналитически в виде формулы (17). Есть практически важные случаи расположения спектрального множества, для которых значение ОП можно найти алгоритмически. Это случаи, когда областью локализации спектра является произвольный комплексный отрезок, треугольник или многоугольник.

На рисунке 2 точка O – начало координат 0 комплексной плоскости и точка А – точка на вещественной оси. Отрезок ВС – область локализации спектра оператора перехода . Точка О_АВС – центр описанной вокруг треугольника АВС окружности. Через серединный перпендикуляр к отрезку ВС проведем из точки О_АВС луч O _АВС x, на котором - расстояние от начала луча. Направление луча – в сторону полуплоскости, не содержащей точку 1. Пусть центр окружности, проходящей через т. В и т. С, лежит на этом луче на расстоянии от точки О_АВС в точке X, а окружность при этом «видна» из точки под углом . AK – касательная к этой окружности, – её радиус. Если в качестве параметра в (11) принять комплексное значение точки X, то радиус сходимости есть .

Найдем функцию , ее минимум и значение в минимуме. Очевидно, что , на остальной оси . Искомая функция, используя теорему косинусов и свойства центральных и вписанных углов в окружности с центром в точке О_АВС и в точке X

(19)

Здесь , - фиксированные углы заданного , - радиус описанной вокруг окружности. Минимум функции (19) наступает при и равен [14]

(20)

При этом ОП для сходимости (3) в случае спектра-отрезка есть . Таким образом, ОП для сходимости в случае комплексного спектра-отрезка есть комплексное значение точки пересечения окружности О_АВС и серединного перпендикуляра к отрезку, причем из двух значений следует выбирать то, для которого «оптимальная» окружность не содержит точку . Радиус сходимости МОПИ для спектра-отрезка определяется формулой (20).

При этом ОП для сходимости (3) в случае спектра-отрезка есть . Таким образом, ОП для сходимости в случае комплексного спектра-отрезка есть комплексное значение точки пересечения окружности О_АВС и серединного перпендикуляра к отрезку, причем из двух значений следует выбирать то, для которого «оптимальная» окружность не содержит точку . Радиус сходимости МОПИ для спектра-отрезка определяется формулой (20).

Рис. 2. Определение оптимального параметра для спектра-отрезка и спектра-треугольника

В случае, если область локализации спектра - треугольник, например на рис.2, алгоритм определения ОП следующий. Пусть , - оптимальные окружности, построенные для каждой стороны , как описано выше. Если третья вершина треугольника лежит в какой-либо окружности или на ней, то ОП найден: . В противном случае (как представлено на рис.3) следует переместиться из точки по построенному для данного отрезка лучу в центр описанной вокруг окружности - точку . ОП для сходимости в этом случае , а скорость сходимости несколько хуже, чем для любого спектра-отрезка из состава треугольника. Назовем найденную таким образом окружность «оптимальной» для треугольника, так как её центр является ОП для сходимости ММПИ в случае локализации спектральной области матрицы перехода в области комплексного треугольника.

В случае, если спектр лежит на ломаной, состоящей из нескольких отрезков, или на многоугольнике, алгоритм поиска ОП следующий. Находится некоторый характерный треугольник из состава многоугольника, «оптимальная» окружность для которого содержит всю область локализации спектра, причем из множества таких характерных треугольников выбирается один с минимальным радиусом сходимости. Комплексное значение центра его «оптимальной» окружности принимается за ОП сходимости.

Рассмотрим часто встречающийся случай спектра-отрезка перпендикулярного и симметричного к действительной оси. Пусть центр отрезка задается на действительной оси величиной , а концы отрезка по мнимой оси имеют координаты . На рис. 3,a данный случай представлен значениями и . Тогда пересечение окружности, проходящей через точку 1 и концы отрезка с серединным перпендикуляром к отрезку, лежит на действительной оси (рис.3) и значение ОП («крестик» на рис.3,a)

(21)

Радиус сходимости в рассмотренном случае

(22)

Рассмотрим еще частный случай спектра-отрезка, когда одним из его концов является т.0 (рис.3,б). Этот случай характерен для спектра интегрального оператора электромагнитного рассеяния [16]. В этом случае ОП и знаменатель сходимости удается выразить через комплексное значение центра отрезка . Пусть центр отрезка, его действительная и мнимая часть обозначены соответственно . Тогда радиус окружности через точку 1 и концы отрезка 0 и есть , а ОП

(23)

Радиус сходимости в этом случае определяется как (15).

а) б)

Рис.3. Симметричное расположение спектра-отрезка (а), «электромагнитный» случай (б)