Итерационные методы решения СЛАУ и проблемы собственных значений

Прямые методы решения СЛАУ, рассмотренные во Введении, имеют конечное число операций. Так, в методе Гаусса и его модификациях решение получается за операций умножения, где число неизвестных и размер матрицы. При этом, особенно для больших систем, за это число шагов может накапливаться ошибка округления.

Итерационные методы решения СЛАУ [5-8] – методы с бесконечным числом итераций (приближений). Однако, в быстро сходящихся методах заданная точность решения достигается за итераций, то есть за операций умножения, что намного меньше, чем в методе Гаусса. При этом оператор перехода , который соединяет вектор ошибки на предыдущей и последующей итерациях, является сжимающим с (т.е. уменьшающим ошибку), и накапливания ошибок не происходит.

Недостатком итерационных методов является их недостаточная универсальность. Сходимость метода существенно зависит от области локализации спектрального множества исходной матрицы и оператора перехода на комплексной плоскости. Ускорение сходимости требует настройки специальных спектральных параметров итерационного метода, а алгоритмы настройки зависят от типа матриц.

Преимущества же быстро сходящихся итерационных процессов перед прямыми методами известны. Это:

· количество арифметических операций (здесь число итераций), вместо ;

· отсутствие накопления ошибок в процессе итераций со сжимающим оператором;

· пониженные требования к оперативной памяти ЭВМ

· возможность многократного использования оптимальных параметров алгоритма (напримаер, если даже приходится детально исследовать спектр задачи для построения быстро сходящегося итерационного процесса то, однажды его построив, можно затем многократно использовать для расчетов с различными источниками - правыми частями ).

Особенно эти преимущества заметны для задач с большими матрицами . Решение комплексной СЛАУ с стандартным методом Mathcad на ЭВМ P-4 2Ггц занимает около 3 мин машинного времени, в то время как решение той же системы быстро сходящимся итерационным методом с требует всего около 1..2 сек.

В 3-ей главе кратко рассмотрены итерационные методы решения полной и частичной проблемы собственных значений.