Метод явной оптимальной простой итерации (МОПИ)

Используем вместо (1)

и (4) эквивалентное уравнение и модифицированный метод явной простой итерации (ММПИ), введя в уравнение произвольный комплексный параметр (греческая буква)

; , (11)

Здесь явная модифицированная матрица перехода ( единичная матрица, ) и правая часть

, (12)

В литературе ММПИ известен также, как одношаговый метод простой итерации Ричардсона [1-7], но с другим параметром

, (13)

При этом параметры и в (13) и (12) связаны, как легко показать, соотношением

(14)

Параметр нам представляется более удобным и естественным, особенно при определении оптимального параметра (ОП) сходимости , когда последний оказывается на комплексной плоскости центром некоторого круга, содержащего выпуклую оболочку спектрального множества оператора перехода . Покажем, что выбором () при достаточно широких условиях можно добиться сходимости (12) и, более того, для многих практически важных случаев конфигурации спектральной области возможно построение алгоритма поиска ОП в (11), минимизирующего радиус сходимости оператора : .

Путь поиска ОП в (11) известен [10]. Пусть - некоторый круг, полностью включающий в себя выпуклую оболочку спектра оператора перехода (рис.1). Если точка 1 на комплексной плоскости не принадлежит этой оболочке, то возможно построение сходящегося ряда (11) с матрицей перехода (12). Спектральное множество на комплексной плоскости преобразуется по такому же закону, что и матрица перехода . При этом точка 1 комплексной плоскости переходит в точку 1 плоскости , центр круга переходит в центр 0 плоскости , круг радиуса переходит в круг радиуса . Для оптимальной сходимости необходимо найти круг , «видимый» из точки 1 под минимальным углом , его центр является ОП , а знаменатель сходимости определяется при этом, как . Отметим важный практический случай, когда окружность – граница – проходит через точку 0. Точка 0 при преобразовании (12) переходит в точку , которая лежит на границе круга и, таким образом, радиус сходимости модифицированного ряда в этом случае

(15)

Рис.1. Линейное преобразование области локализации комплексного спектра матрицы

По построению есть радиус круга, который не содержит точку 1. Поэтому всегда и . В общем случае радиус (знаменатель) сходимости преобразованного ряда определяется как

(16)

где -радиус круга , а - его центр и , если .

Отметим также, что описанный способ нахождения ОП не является алгоритмом или функцией от параметров области локализации спектра и реализуется далее в явном виде различными алгоритмами или формулами в конкретных случаях.