Метод прогонки. Метод прогонки применяется для решения СЛАУ специального вида, с трехдиагональной матрицей

Метод прогонки применяется для решения СЛАУ специального вида, с трехдиагональной матрицей

Такие СЛАУ возникают при численном решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод прогонки является модификацией метода Гаусса и так же состоит из двух этапов: прямой и обратной прогонки. Начиная с первого и второго уравнения можно последовательно связать две соседние неизвестные переменные через вычисляемые коэффициенты

(2)

Из 1-го и 2-го уравнений и далее следует, что

(3)

После вычисления прогоночных коэффициентов по формулам (3) начинается этап обратной прогонки по формулам (2). Предварительно определяется значение последнего неизвестного из (3) при и последнего уравнения системы:

Алгоритм метода прогонки весьма экономичен и предполагает лишь операций умножения, поэтому для трехдиагональной матрицы в условиях корректности и устойчивости прогонки он самый предпочтительный. Условие корректности прогонки состоит в отсутствии деления на нуль в формулах (3). Устойчивость прогонки состоит в невозрастании однажды возникшей ошибки округления в дальнейшем процессе вычислений (2)-(3). Достаточным условием корректности и устойчивости прогонки является условие диагонального преобладания матрицы и строгого диагонального преобладания хотя бы для одной строки.