Метод случайного баланса

При описании многофакторного объекта основным этапом является получение математической модели, адекватно описывающей статический объект в изучаемом диапазоне изменения его входных переменных (факторов). При этом следует стремиться к тому, чтобы математическое описание было возможно более простым при максимуме подобия. Такое сочетание особенно необходимо при разработке способов и систем оптимального управления, когда важно достичь или поддерживать глобальный, а не локальный экстремум. Решение этой задачи в реальных условиях обычно связано с серьезными трудностями, вызванными весьма большим количеством переменных, в той или иной степени влияющих на объект. Привлечение всего множества переменных к составлению математического описания может потребовать большого объема экспериментальной и вычислительной работы, что зачастую невыполнимо в силу технологических, экономических и прочих ограничений. Возникает необходимость предварительного отсеивания несущественных переменных и выделения тех входных воздействий, которые оказывают наиболее заметное влияние на целевую функцию.

Если число всех возможных факторов, влияющих на объект, не превышает 6-7, то для предварительного изучения объекта можно применить методы дробного или полного факторного эксперимента. Однако при большом числе рассматриваемых факторов эти методы оказываются слишком громоздкими и трудоемкими для постановки отсеивающих опытов.

Метод случайного баланса (МСБ) использует перенасыщенные планы, при которых выполняется условие: ,

где u - общее количество исследуемых переменных, N - число строк матрицы планирования, соответствующее числу точек факторного пространства, в которых ставятся опыты.

Важнейшей теоретической предпосылкой МСБ является априорное знание того, что из всей совокупности рассматриваемых переменных только небольшое их число являются действительно существенными, остальные же могут быть отнесены к шумовому полю. Вклады существенных факторов должны намного (минимум на порядок) превышать погрешность измерения, определяемую шумовым полем. Кроме того, предполагается, что:

объект управляем;

между отдельными составляющими дисперсии функции отклика и входными переменными может быть установлено соответствие;

опыты воспроизводимы;

отдельные измерения случайны и независимы друг от друга.

При использовании МСБ математическую модель сложного объекта расщепляют на части:

,

где: h - число значимых переменных; (h-u) - число незначимых переменных; - случайная составляющая (помехи). Под и понимаются нормированные линейные факторы и парные взаимодействия.

Построение матрицы планирования для проведения отсеивающих опытов выполняют на основе предпосылки, что исследуемые факторы должны быть смешаны случайным образом. Все линейные факторы (i=1,2,...,n) разбивают на группы. При этом стремятся заведомо взаимодействующие факторы включить в одну группу. Если же нет априорных сведений о физике процесса, то разбивку факторов по группам можно производить формально, с использованием таблицы случайных чисел. В этом случае предварительно составляют пронумерованный список факторов, а затем с помощью таблицы случайных чисел каждому фактору присваивают свой случайный порядковый номер, после чего факторы случайным образом объединяют в группы. Для каждой группы составляют матрицу планирования. Все групповые матрицы планирования должны иметь одинаковое количество строк, чтобы их можно было состыковать. Число N строк каждой групповой матрицы должно удовлетворять условию и равенству: , причем p выбирается обычно наименьшим, при котором выполняется неравенство N>n, где n - число линейных факторов. План отсеивающего эксперимента образуют путем стыковки групповых матриц планирования случайным смешиванием их строк.

ПРИМЕР. Пусть требуется исследовать 6 факторов и 15 их парных взаимодействий. Необходимо выделить самые существенные из них, используя МСБ.

Разобьем 6 факторов на две группы. Каждой группе из трех факторов соответствует матрица, содержащая 2³ строк. Пусть G_I и G_II - номера строк в этих матрицах.

Таблица 3

Группа I		Группа II
GI					GII
	-1	-1	-1			-1	-1	-1
	+1	-1	-1			+1	-1	-1
	-1	+1	-1			-1	+1	-1
	+1	+1	-1			+1	+1	-1
	-1	-1	+1			-1	-1	+1
	+1	-1	+1			+1	-1	+1
	-1	+1	+1			-1	+1	+1
	+1	+1	+1			+1	+1	+1

Проведем рандомизацию строк матриц полного факторного эксперимента с помощью таблицы случайных чисел. Введем нумерацию G строк общей матрицы планирования.

Таблица 4

	Группа I	Группа II
G	GI				GII
		-1	+1	-1		+1	+1	-1
		+1	+1	-1		-1	+1	+1
		-1	+1	+1		+1	+1	+1
		-1	-1	+1		-1	-1	+1
		+1	-1	-1		-1	+1	-1
		+1	+1	+1		+1	-1	+1
		+1	-1	+1		+1	-1	-1
		-1	-1	-1		-1	-1	-1

Составим общую матрицу планирования для МСБ путем построчной стыковки матриц планирования обоих групп после рандомизации:

Таблица 5

G	k
		-1	+1	-1	+1	+1	-1		39.5
		+1	+1	-1	-1	+1	+1
		-1	+1	+1	+1	+1	+1		43.5
		-1	-1	+1	-1	-1	+1
		+1	-1	-1	-1	+1	-1
		+1	+1	+1	+1	-1	+1		52.5
		+1	-1	+1	+1	-1	-1		54.5
		-1	-1	-1	-1	-1	-1

В графе k указан случайный порядок проведения опытов по строкам матрицы планирования. Для уменьшения влияния помех и получения оценки дисперсии воспроизводимости могут выполняться параллельные опыты.