Проверка адекватности модели. Критерий Фишера

Проверка адекватности математического описания по опытным данным представляет собой оценку отклонения предсказанной по полученному уравнению регрессии величины отклика системы от результатов наблюдений Y в одних и тех же точках факторного пространства. Рассеяние результатов наблюдений вблизи уравнения регрессии, оценивающего истинную функцию отклика, можно охарактеризовать с помощью дисперсии адекватности:

,

где – значение отклика системы, усредненное по множеству параллельных опытов, на g-тое сочетание управляющих факторов; – значение отклика, вычисленное по полученной функции регрессии.

Функция статистики для оценки адекватности определяется как отношение оценки дисперсии адекватности к оценке дисперсии воспроизводимости:

Критическое значение статистики определяется с помощью следующего соотношения:

,

где , .

Гипотеза об адекватности функции регрессии экспериментальным данным считается подтвержденной, если выполняется неравенство:

.

Если гипотеза об адекватности отвергнута, то рекомендуется:

перейти к более сложной форме математического описания или

уменьшить интервал варьирования факторов до 10%-60% от первоначального.

Однако, уменьшение интервала варьирования приводит к снижению отношения сигнал/шум, что влечет за собой увеличение числа параллельных опытов.

D-ОПТИМАЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ

План , минимизирующий определитель ковариационной матрицы оценок коэффициентов регрессии на множестве всех возможных планов P в области , называется D-оптимальным:

.

D-оптимальный план минимизирует объем доверительного эллипсоида на множестве всех допустимых планов .

Алгоритм построения D-оптимального плана не является композиционным, т.е. для каждого числа экспериментов N необходимо строить новую матрицу плана F, так как не удается использовать ранее вычисленные матрицы для других объемов экспериментов. Вычисление точного D-оптимального плана имеет сложный алгоритм и требует использования численных методов. Приближенные D-оптимальные планы строят с помощью более простого алгоритма на основе последовательных процедур. Такой алгоритм имеет следующие этапы:

Выбирают невырожденный начальный план , соответствующий N экспериментам, то есть множеству {X1,X2,…,XN} точек факторного пространства, образующих план экспериментов.

Координаты новой точки плана находят из соотношения: , где - множество допустимых значений точек факторного пространства, r(X) – вектор регрессоров.

Матрицу плана F дополняют новой строкой, соответствующей новой точке плана : .

Алгоритм построения плана завершают, если выполняется условие: , в противном случае продолжают наращивание матрицы плана в соответствии с двумя предыдущими этапами. - заданная величина допустимого отличия создаваемого плана от точного, , где d – число оцениваемых коэффициентов регрессии.

Правило останова в приведенном алгоритме можно определить на основе анализа точности получаемого результата, т.е. по заданным величинам доверительной вероятности и дисперсии коэффициентов регрессии - .

D – оптимальный план является реализацией одного из возможных критериев оптимальности, кроме него находят применение следующие виды планов:

А - оптимальный план, минимизирующий среднюю дисперсию оценок коэффициентов.

Е - оптимальный план, минимизирующий максимальное собственное число ковариационной матрицы оценок.

G – оптимальный план, обеспечивающий наименьшую величину максимальной дисперсии.

MV - оптимальный план, минимизирующий максимальный диагональный элемент ковариационной матрицы оценок.