Регрессионный анализ

Цель регрессионного анализа: планирование экспериментов для получения линейной или неполной степенной математической модели статистики сложного объекта. Вариация входных воздействий на систему и регистрация соответствующих состояний системы позволяет получить систему уравнений для определения параметров системы.

Математическая модель системы задается в виде следующего соотношения:

,

где Y(X) – реакция системы (измеряемый параметр),

- вектор факторов (входных переменных),

- параметрическая функция регрессии,

- вектор параметров, которые необходимо определить по результатам измерений, d – количество параметров, k - количество факторов,

- случайные воздействия на исследуемую систему.

Модель называется линейной регрессионной моделью, если она линейна относительно компонент вектора параметров. Уравнение линейной регрессионной модели:

,

где r(X) – вектор регрессоров, длина которого равна длине вектора параметров.

Уравнение регрессии в виде полинома второй степени:

,

где - расчетное значение отклика системы,

- коэффициенты уравнения регрессии, которые требуется определить.

Форма задания уравнения регрессии в общем случае произвольна. Полиномиальная форма соответствует разложению в ряд Тейлора уравнения регрессии в окрестности точки .

Уравнение регрессии второго порядка для трех факторов:

.

Вектор регрессоров для этого уравнения имеет вид:

.

Первым элементом вектора регрессоров является 1, так как отсутствие этого элемента влечет за собой равенство y(X=0)=0 для любых значений параметров , что недопустимо в общем случае.

Условия задачи множественного регрессионного анализа:

Результаты наблюдений должны представлять собой независимые, нормально распределенные случайные величины.

Выборочные оценки дисперсии однородны.

Погрешность измерения факторов пренебрежимо мала относительно их диапазона изменения.

Этапы реализации регрессионного анализа:

Планирование экспериментов.

Проведение экспериментов на исследуемой системе.

Получение математической модели системы.

Проверка воспроизводимости экспериментов.

Проверка адекватности математического описания.

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Цель планирования экспериментов: минимизация общего объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности получаемых результатов. План экспериментов представляет собой множество точек факторного пространства (множества допустимых значений факторов), заданных по определенному правилу, соответствующему цели исследований. Центр плана – точка факторного пространства, соответствующая средним значениям факторов. Обычно план соответствует равномерному распределению выбранных точек в факторном пространстве.

Компоненты вектора управляющих факторов нормируют так, чтобы диапазон их варьирования соответствовал интервалу [-1;+1]. Формула такого нормирования: .

План полного факторного эксперимента (ПФЭ) представляет собой множество всех возможных сочетаний уровней факторов. Если уровней два, то план состоит из экспериментов.

Центральный композиционный план представляет собой комбинацию ПФЭ для двух уровней факторов , дополненный центральной точкой факторного пространства и вариантами изменения факторов по одному на уровнях , где определяется из уравнения .

Аналитической формой плана экспериментов служит матрица планирования, которая образуется из транспонированных векторов регрессоров, вычисленных для различных запланированных N точек факторного пространства:

,

где - i-тая компонента вектора регрессоров в j-той точке факторного пространства, X1,X2,…,XN – множество точек факторного пространства, образующее выбранный план экспериментов, N – количество экспериментов.

Матрица центрального композиционного плана второго порядка для трех факторов (строки соответствуют различным точкам факторного пространства, столбцы – искомым параметрам модели):

Независимыми являются 1-4 столбики, а остальные сформированы как линейные комбинации первых четырех столбиков.