Интерполяция сплайнами

Кубический сплайн - это математическая модель гибкого тонкого стержня. Стержень закреплён в двух точках с заданными углами наклона. Приобретаемая стержнем форма соответствует минимуму потенциальной энергии. Уравнение равновесия стержня. . Решением уравнения является кубический многочлен.

Аппроксимация сплайнами позволяет для заданного множества узловых точек построить сопряженную систему кубических многочленов. В промежутках между каждой парой узловых точек строится своя интерполяционная функция , которая является многочленом третьей степени:

. (4)

Результат аппроксимации сплайнами показан на рис.19.

Рис.22. Интерполяция сплайнами.

Задача интерполяции сплайнами состоит в определении коэффициентов по координатам узловых точек. - общее количество неизвестных коэффициентов. В узловых точках функция должна удовлетворять следующим условиям:

, (5)

, (6)

где - интервал между смежными узлами. Общее количество уравнений (5) и (6) равно .

Первая и вторая производные сплайнов в узловых точках должны быть непрерывны, поэтому справедлива система из соответствующих уравнений:

, (7)

, (8)

где ,

.

Преобразование уравнений (7) и (8) приводит их к следующему виду:

, (9)

. (10)

Два последних уравнения, обеспечивающих равенство числа неизвестных и числа уравнений, определяются неоднозначно. Наиболее часто используются следующие условия:

, .

Преобразование этих уравнений дает следующее:

, . (11)

Уравнения (5,6,9-11) образуют полную систему, матрица которой может быть приведена к трехдиагональному виду, что обеспечивает быстрое и корректное решение, несмотря на большую размерность системы. Следует отметить, что данный метод не гарантирует хорошей точности, если функция резко изменяется за 1 шаг сетки.